Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
(a) lim (x, y) (5,-2)(x^5+4 x^3 y-5 x y^2)
(b) lim (x, y) (2,1) 4-x yx^2+3 y^2
© lim (x, y) (0,0) y^4x^4+3 y^4
(d) lim (x, y) (0,0) x y cos y3 x^2+y^2
(e) lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2
(f) lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4+4 y^2
(g) lim (x, y) (0,0) x^2 sen^2 yx^2+2 y^2
(h) lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Isso envolve o estudo dos limites em funções de duas variáveis, que é um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, precisamos entender como calcular limites substituindo diretamente os valores das variáveis, desde que a função seja contínua no ponto considerado.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua no ponto . Uma função polinomial como essa é contínua em todo o seu domínio, que, no caso, é . Isso significa que podemos calcular o limite simplesmente substituindo os valores de e por 5 e -2, respectivamente.

Passo 3

Vamos substituir f(5, -2) = 5^5 + 4 cdot 5^3 cdot (-2) - 5 cdot 5 cdot (-2)^2 e na função:

Passo 4

Agora, vamos calcular cada termo separadamente:

Passo 5

Agora, somamos os resultados dos três termos:
3125 + (-1000) + (-100) = 3125 - 1000 - 100 = 2025

Resposta

lim (x, y) (5,-2)(x^5+4 x^3 y-5 x y^2) = 2025

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