Seja f(x) = log_3(raiz(1 + 2^x)).
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) em (0, f(0)).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa descobrir a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de logaritmos, propriedades de funções e derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é o valor da função quando . Isso vai nos dar o ponto de tangência .
Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de , que nos dará a inclinação da reta tangente. Vamos derivar passo a passo.
Primeiro, reescrevemos de uma forma que facilite a derivação:
Usamos a propriedade .

Passo 4

A derivada de em relação a é . Então, aplicando isso:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular substituindo na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 6

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de em é:

Exercícios relacionados