Seja
.
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
em
.
(b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função
e precisa descobrir a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de logaritmos, propriedades de funções e derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é o valor da função quando
. Isso vai nos dar o ponto de tangência
.
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, que nos dará a inclinação da reta tangente. Vamos derivar
passo a passo.
Primeiro, reescrevemos
de uma forma que facilite a derivação:
Usamos a propriedade
.
Passo 4
A derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando isso:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular
substituindo
na derivada que encontramos:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 6
Agora que temos o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da reta tangente:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
em
é: