Mostre que
Obs. Não pular passos das contas. (2,00 pontos)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos calcular a integral definida de
de
a
. Esse tipo de integral pertence ao assunto de Funções Gaussianas ou Distribuições Normais na análise matemática. Para resolver, vamos usar técnicas de integração que envolvem álgebra e propriedades de integrais simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a integral de
:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica comum para integrais de funções gaussianas, que envolve calcular
:
Aqui, introduzimos uma segunda variável de integração
para facilitar o cálculo.
Passo 4
Agora, podemos escrever
como uma integral dupla:
Essa forma nos permite avançar para coordenadas polares, o que simplifica a integração.
Passo 5
Vamos mudar para coordenadas polares, onde
e
. O elemento de área
se transforma em
. Portanto, a integral fica:
Passo 6
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 7
Agora, realizamos a substituição
. Então,
ou
. Substituindo:
Passo 8
A integral
é uma integral básica que vale 1. Portanto:
Passo 9
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados: