Mostre que
integral-infty^infty exp (-a^2 x^2) d x=raizpia
Obs. Não pular passos das contas. (2,00 pontos)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos calcular a integral definida de de a . Esse tipo de integral pertence ao assunto de Funções Gaussianas ou Distribuições Normais na análise matemática. Para resolver, vamos usar técnicas de integração que envolvem álgebra e propriedades de integrais simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a integral de I = integral-infty^infty e^-a^2 x^2 dx :
Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica comum para integrais de funções gaussianas, que envolve calcular I^2 = ( integral-infty^infty e^-a^2 x^2 dx ) ( integral-infty^infty e^-a^2 y^2 dy ) :
Aqui, introduzimos uma segunda variável de integração para facilitar o cálculo.

Passo 4

Agora, podemos escrever I^2 = integral-infty^infty integral-infty^infty e^-a^2 (x^2 + y^2) dx dy como uma integral dupla:
Essa forma nos permite avançar para coordenadas polares, o que simplifica a integração.

Passo 5

Vamos mudar para coordenadas polares, onde I^2 = integral0^2pi integral0^infty e^-a^2 r^2 r dr dtheta e . O elemento de área se transforma em . Portanto, a integral fica:

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^2pi dtheta = 2pi :
I^2 = 2pi integral0^infty e^-a^2 r^2 r dr
Então, a integral se simplifica para:

Passo 7

Agora, realizamos a substituição I^2 = 2pi integral0^infty e^-u cdot du2a^2 = pia^2 integral0^infty e^-u du . Então, ou . Substituindo:

Passo 8

A integral I^2 = pia^2 cdot 1 = pia^2 é uma integral básica que vale 1. Portanto:

Passo 9

Para encontrar I = raizI^2 = raizpia^2 = raizpia , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

integral-infty^infty e^-a^2 x^2 dx = raizpia

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