Um pêndulo simples consiste de uma massa
suspensa a partir de um ponto fixo por uma haste de comprimento
.
Utilize a
lei de Newton em coordenadas polares e obtenha as equações de movimento para este sistema.
Utilize a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um pêndulo simples! A gente vai usar a segunda lei de Newton, mas em coordenadas polares. Isso significa que vamos analisar os movimentos do pêndulo nas direções radial e angular. Para isso, vamos precisar entender como as forças agem nesse sistema e aplicar as equações de movimento adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um pêndulo simples: é uma massa $ m $ presa a uma haste de comprimento $ l $ que pode oscilar livremente a partir de um ponto fixo. Nosso objetivo é encontrar as equações que descrevem esse movimento usando a segunda lei de Newton.
Passo 3
Vamos trabalhar em coordenadas polares porque o pêndulo está se movendo em um círculo. Nessa configuração, temos duas direções importantes:
- Direção radial ($ \hat{r} $): é a direção ao longo da haste, apontando para o centro do círculo.
- Direção angular ($ \hat{\theta} $): é perpendicular à haste, na direção do movimento angular.
Passo 4
Na direção radial, temos duas forças principais:
- Tensão ($ T $) na haste, atuando para dentro (radialmente).
- Componente do peso ($ mg $) na direção radial, que é $ mg \cos\theta $.
Segundo a segunda lei de Newton, a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. Então, na direção radial:
Mas como o comprimento da haste $ l $ é constante, $ \ddot{l} = 0 $. Assim, a equação fica:
Passo 5
Na direção angular, a única força que causa aceleração é a componente tangencial do peso, que é $ mg \sin\theta $. Aplicando a segunda lei de Newton nessa direção:
Rearranjando a equação:
Passo 6
Então, resumindo, temos duas equações:
- Equação radial:
- Equação angular:
Resposta
As equações de movimento para o pêndulo simples são: