Um pêndulo simples consiste de uma massa m suspensa a partir de um ponto fixo por uma haste de comprimento l.
Utilize a 2^circ lei de Newton em coordenadas polares e obtenha as equações de movimento para este sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um pêndulo simples! A gente vai usar a segunda lei de Newton, mas em coordenadas polares. Isso significa que vamos analisar os movimentos do pêndulo nas direções radial e angular. Para isso, vamos precisar entender como as forças agem nesse sistema e aplicar as equações de movimento adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um pêndulo simples: é uma massa $ m $ presa a uma haste de comprimento $ l $ que pode oscilar livremente a partir de um ponto fixo. Nosso objetivo é encontrar as equações que descrevem esse movimento usando a segunda lei de Newton.

Passo 3

Vamos trabalhar em coordenadas polares porque o pêndulo está se movendo em um círculo. Nessa configuração, temos duas direções importantes:
  1. Direção radial ($ \hat{r} $): é a direção ao longo da haste, apontando para o centro do círculo.
  2. Direção angular ($ \hat{\theta} $): é perpendicular à haste, na direção do movimento angular.

Passo 4

Na direção radial, temos duas forças principais:
  • Tensão ($ T $) na haste, atuando para dentro (radialmente).
  • Componente do peso ($ mg $) na direção radial, que é $ mg \cos\theta $.
Segundo a segunda lei de Newton, a soma das forças é igual à massa vezes a aceleração. Então, na direção radial:
T
Mas como o comprimento da haste $ l $ é constante, $ \ddot{l} = 0 $. Assim, a equação fica:
mg

Passo 5

Na direção angular, a única força que causa aceleração é a componente tangencial do peso, que é $ mg \sin\theta $. Aplicando a segunda lei de Newton nessa direção:
mg sintheta
Rearranjando a equação:
-mg sintheta = m l ddottheta

Passo 6

Então, resumindo, temos duas equações:
  1. Equação radial:
T - mg costheta = -m l dottheta^2
  1. Equação angular:
ddottheta = -gl sintheta

Resposta

As equações de movimento para o pêndulo simples são:
T - mg costheta = -m l dottheta^2
ddottheta = -gl sintheta

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