2 Mostre que a integral,
independe do caminho ligando os pontos
e
. Calcule essa integral no caso
e
.
Note que, o campo
é
em
, que
, e que
é simplesmente conexo. Para calcular a integral note que o campo
é conservativo. Resp. 66.
Note que, o campo
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o campo
é conservativo em (e portanto a integral de linha
independe do caminho) e em seguida calcular essa integral de
a
. Vamos usar o teste de exatidão em domínio simplesmente conexo e depois encontrar uma função potencial.
é conservativo em
Passo 2
Verificamos as derivadas cruzadas:
Como
e
é simplesmente conexo, conclui-se que
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
satisfazendo
integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Agora exigimos
logo
e
. Assim, podemos escolher
Passo 4
Como o campo é conservativo,
Calculamos
Logo