2 Mostre que a integral, integralA^B(2 x+y^3) d x+(3 x y^2+4) d y independe do caminho ligando os pontos A e B. Calcule essa integral no caso A=(0,1) e B=(2,3).
Note que, o campo F(x, y)=(2 x+y^3) i+(3 x y^2+4) j é C^1 em R^2, que partial Qpartial x=partial Ppartial y, e que R^2 é simplesmente conexo. Para calcular a integral note que o campo F é conservativo. Resp. 66.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o campo
vec F(x,y)=(P,Q)=(2x+y^3,;3xy^2+4)
é conservativo em R^2 (e portanto a integral de linha
integralA^BP,dx+Q,dy independe do caminho) e em seguida calcular essa integral de A=(0,1) a B=(2,3). Vamos usar o teste de exatidão em domínio simplesmente conexo e depois encontrar uma função potencial.

Passo 2

Verificamos as derivadas cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial y(2x+y^3) =3y^2, partial Qpartial x =partialpartial x(3xy^2+4) =3y^2
Como partial Ppartial y=partial Qpartial x e R^2 é simplesmente conexo, conclui-se que vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial f(x,y) satisfazendo
partial fpartial x=P=2x+y^3,
integramos em relação a x:
f(x,y)=integral(2x+y^3),dx =x^2+xy^3+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Agora exigimos
partial fpartial y =3xy^2+h'(y) stackrel!=Q=3xy^2+4,
logo h'(y)=4 e h(y)=4y+C. Assim, podemos escolher
f(x,y)=x^2+xy^3+4y

Passo 4

Como o campo é conservativo,
integralA^BP,dx+Q,dy =f(B)-f(A)
Calculamos
f(2,3)=2^2+2cdot3^3+4cdot3 =4+54+12=70, f(0,1)=0^2+0cdot1^3+4cdot1=4
Logo
integral(0,1)^(2,3)(2x+y^3),dx+(3xy^2+4),dy =70-4=66

Resposta

66

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