Mostre que
integral x^k ln x d x=x^k+1k+1 ln x-x^k+1(k+1)^2+C, k neq-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral x^k ln x , dx. O conteúdo aqui é cálculo integral, especificamente usando integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar duas partes na nossa integral que correspondem a u e dv na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Precisamos escolher o que será u e o que será dv na nossa integral integral x^k ln x , dx. Geralmente, escolhemos u como a parte que fica mais simples ao derivar e dv como a parte que conseguimos integrar facilmente.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
dv = x^k dx Rightarrow v = integral x^k dx = x^k+1k+1 (já que k neq -1) á
Aqui, integramos x^k para encontrar v.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral x^k ln x , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln x cdot x^k+1k+1 - integral x^k+1k+1 cdot 1x dx

Passo 5

Simplificando a integral que ficou:
integral x^k+1k+1 cdot 1x dx = 1k+1 integral x^k dx
A integral de x^k é:
integral x^k dx = x^k+1k+1 + C
Então, substituindo de volta:
1k+1 cdot x^k+1k+1 = x^k+1(k+1)^2

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral x^k ln x , dx = x^k+1k+1 ln x - x^k+1(k+1)^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral x^k ln x , dx = x^k+1k+1 ln x - x^k+1(k+1)^2 + C, k neq -1

Exercícios relacionados