Mostre que a integral de ortogonalidade para os polinômios de Legendre
é equivalente a
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a ortogonalidade dos polinômios de Legendre, dada por
é equivalente a
Conteúdo principal: mudança de variável em integrais (substituição
). Vamos usar que
e ajustar limites.
Passo 2
Qual é a ideia?
- A gente define
. - Calcula
. - Vê como mudam os limites de
para . - Substitui tudo na integral original e mostra que sai a outra.
Passo 3
Calcular
:
x = cosθ ⇒ dx = ,dθ.
Repara que e a relação é direta.
x = cosθ ⇒ dx =
Repara que
Passo 4
Ajustar limites:
- Quando
, tem ⇒ . - Quando
, tem ⇒ .
Então
Passo 5
Agora o sinal “−” troca os limites de integração:
Pronto! É exatamente a integral em
.
Resposta
Usando a substituição
(com
e trocando limites), mostramos que
logo a propriedade de ortogonalidade (
para
) é equivalente nas duas formas.