Mostre que a integral de ortogonalidade para os polinômios de Legendre
integral-1^1 Pell(x) Pn(x) d x=0 ell neq n
é equivalente a
integral0^pi Pell(cos theta) Pn(cos theta) sen theta d theta=0 ell neq n

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a ortogonalidade dos polinômios de Legendre, dada por
integral-1^1 Pell(x),Pn(x),dx = 0 (ell neq n),
é equivalente a
integral0^pi Pell(costheta),Pn(costheta),sintheta,dtheta = 0 (ell neq n)
Conteúdo principal: mudança de variável em integrais (substituição ). Vamos usar que e ajustar limites.

Passo 2

Qual é a ideia?
  1. A gente define .
  2. Calcula .
  3. Vê como mudam os limites de para .
  4. Substitui tudo na integral original e mostra que sai a outra.

Passo 3

Calcular :
x = cosθ ⇒ dx = ,dθ.
Repara que e a relação é direta.

Passo 4

Ajustar limites:
  • Quando integral-1^1 Pell(x),Pn(x),dx = integraltheta=pi^theta=0 Pell(costheta),Pn(costheta),(-sintheta,dtheta) , tem .
  • Quando , tem .
Então

Passo 5

Agora o sinal “−” troca os limites de integração:
integralpi^0 l[dotsl](-sintheta,dtheta) = integral0^pi Pell(costheta),Pn(costheta),sintheta,dtheta
Pronto! É exatamente a integral em .

Resposta

Usando a substituição integral-1^1 Pell(x)Pn(x),dx = integral0^pi Pell(costheta)Pn(costheta)sintheta,dtheta, (com e trocando limites), mostramos que
logo a propriedade de ortogonalidade ( para ) é equivalente nas duas formas.

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