Mostre que a densidade de probabilidade total dos orbitais 2 p é esfericamente simétrica calculando
summ=-1^1 psi21 m^2
Use as funções de onda reais do hidrogênio.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é mostrar que se a gente somar as densidades de probabilidade dos três orbitais 2p (ou seja, ψ₂₁₋₁² + ψ₂₁₀² + ψ₂₁₊₁²), o resultado só depende de r, não de ângulo. Isso prova que essa soma é esfericamente simétrica. O conteúdo é “orbitais de hidrogênio” e usamos a separação em parte radial R₂₁® e parte angular (harmônicas esféricas reais).

Passo 2

Primeiro, escrevemos as três funções de onda reais 2p em coordenadas cartesianas:
ψ_{2p_x}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(x/r)
ψ_{2p_y}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(y/r)
ψ_{2p_z}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(z/r)
Aqui R₂₁® é a parte radial do orbital 2p:
R21(r)=12raiz6,a0^3/2;ra0;e^-r/(2a0),

Passo 3

Agora soma as densidades:
summ=-1^1psi21m^2 ;=; l[R21(r)r]^2;34pi;x^2+y^2+z^2r^2,
Mas summpsi21m^2 = l[R21(r)r]^2;34pi, , então
Repare que não sobra nenhuma dependência angular – só r.

Passo 4

Basta inserir l[R21(r)r]^2 = 124,a0^3,r^2a0^2,e^-r/a0, :
summ=-1^1psi21m^2 = 34pi,124,a0^3,r^2a0^2,e^-r/a0 = 132pi,a0^5;r^2,e^-r/a0,
Multiplicando por
$$\sum_{m=-1}1\psi_{21m}2
= \frac{3}{4\pi},\frac{1}{24,a_03},\frac{r2}{a_02},e{-r/a_0}
= \frac{1}{32\pi,a_05};r2,e^{-r/a_0},. $$

Resposta

summ=-1^1psi21m^2(r,theta,phi) ;=;132pi,a0^5;r^2,e^-r/a0,
que depende só de . Logo, a densidade total dos orbitais 2p é esfericamente simétrica.

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