Mostre que a densidade de probabilidade total dos orbitais
é esfericamente simétrica calculando
Use as funções de onda reais do hidrogênio.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é mostrar que se a gente somar as densidades de probabilidade dos três orbitais 2p (ou seja, ψ₂₁₋₁² + ψ₂₁₀² + ψ₂₁₊₁²), o resultado só depende de r, não de ângulo. Isso prova que essa soma é esfericamente simétrica. O conteúdo é “orbitais de hidrogênio” e usamos a separação em parte radial R₂₁® e parte angular (harmônicas esféricas reais).
Passo 2
Primeiro, escrevemos as três funções de onda reais 2p em coordenadas cartesianas:
ψ_{2p_x}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(x/r)
ψ_{2p_y}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(y/r)
ψ_{2p_z}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(z/r)
Aqui R₂₁® é a parte radial do orbital 2p:
ψ_{2p_x}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(x/r)
ψ_{2p_y}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(y/r)
ψ_{2p_z}(r,θ,φ) = R₂₁®·√(3/4π)·(z/r)
Aqui R₂₁® é a parte radial do orbital 2p:
Passo 3
Agora soma as densidades:
Mas
Repare que não sobra nenhuma dependência angular – só r.
Passo 4
Basta inserir
:
Multiplicando por
$$\sum_{m=-1}1\psi_{21m}2
= \frac{3}{4\pi},\frac{1}{24,a_03},\frac{r2}{a_02},e{-r/a_0}
= \frac{1}{32\pi,a_05};r2,e^{-r/a_0},. $$
Resposta
que depende só de
. Logo, a densidade total dos orbitais 2p é esfericamente simétrica.