Mostre que:
integral-pi^pi cos n x sen k x d x= 0 & se n neq k pi & se n=k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral \r
integral-pi^picos(n x),sen(k x),dx \r
para n,kinZ, e verificar que ela vale 0 se nneq k e pi se n=k. \r
Para resolver, vamos usar dois argumentos que se complementam: argumento de paridade e identidade trigonométrica.

Passo 2

Observe a paridade das funções envolvidas. A função cos(n x) é par, isto é, \r
cosl(n(-x)r)=cos(-n x)=cos(n x), \r
enquanto sen(k x) é ímpar, pois \r
senl(k(-x)r)=sen(-k x)=-sen(k x) \r
Logo o produto \r
cos(n x),sen(k x) \r
é função ímpar, pois ao trocar x por -x ele ganha sinal negativo: \r
cos(n(-x)),sen(k(-x))=-cos(n x),sen(k x)

Passo 3

Uma função ímpar integrada simetricamente em [-A,A] dá zero: \r
integral-A^Afrm ímpar(x),dx=0í \r
No nosso caso A=pi, então \r
integral-pi^picos(n x),sen(k x),dx=0para todo (n,k)

Passo 4

Para verificar diretamente o caso n=k, use a identidade \r
cos(n x),sen(n x)=tfrac12,sen(2n x) \r
Assim \r
\r
pois sen(2n x) também é função ímpar.

Resposta

integral-pi^picos(n x),sen(k x),dx=0para todo (n,k), \r
portanto a parte “ pi se n=k” não ocorre: o valor é sempre zero.

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