Obtenha a série de Fourier para a função f(x) e plote o gráfico da função:
f(x)=c 1+4 tT, -T2 <= t <= 0 1-4 tT, 0 <= t <= T2

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre a série de Fourier da função periódica de período
e depois plote o gráfico de ), cálculo de coeficiente médio e coeficientes via integrais, e observação de que todos os valem zero.]

Passo 2

Verificamos a paridade de f. Para t>=0 temos f(t)=1-tfrac4tT. Então
f(-t)=1+4(-t)T=1-4tT=f(t)
Logo f é par e sua série de Fourier tem a forma
f(t)=a02+sumn=1^inftyancos!l(2pi nTtr),
com todos os bn=0.

Passo 3

Calculamos o coeficiente médio a0:
a0=1Tintegral-T/2^T/2f(t),dt =2Tintegral0^T/2l(1-4tTr)dt
Dentro da integral:
integral0^T/2l(1-4tTr)dt =l[t-2t^2Tr]0^T/2 =T2-2,(T/2)^2T =T2-T2=0
Assim a0=0 e não há termo constante na série.

Passo 4

Para n>=1, o coeficiente an é
an=2Tintegral0^T/2l(1-4tTr)cos!l(2pi nTtr)dt
Separamos em duas integrais:
I1=integral0^T/2cos!l(2pi nTtr)dt=0 (pois sin(npi)=0),
I2=integral0^T/2tcos!l(2pi nTtr)dt =(-1)^n-1(2pi n/T)^2
Logo
an =2Tl(0-4TI2r) =-8T^2,(-1)^n-1(2pi n/T)^2 =2l[1-(-1)^nr]pi^2n^2

Passo 5

Note que se n é par, 1-(-1)^n=0, e se n é ímpar, 1-(-1)^n=2. Portanto, definindo n=2k+1,
a2k+1=4pi^2(2k+1)^2, a2k=0
Assim a série de Fourier fica
boxed f(t) =sumk=0^infty4pi^2(2k+1)^2 cos!l(2pi(2k+1)Ttr)

Passo 6

O gráfico de f(t) é um “dente de serra” simétrico (forma triangular) de amplitude pm1 e período T. Em cada período vemos:
  • De -tfracT2 a 0: reta que sobe de f(-T/2)=-1 até f(0)=1.
  • De 0 a tfracT2: reta que desce de 1 até -1.

Resposta

f(t) =sumk=0^infty4pi^2(2k+1)^2 cos!l(2pi(2k+1)T,tr)

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