Verifique se o subconjunto do R^3 é subespaço vetorial deste, tal que (x, y, z) in R^3 mid x^2+y+z=0

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid x^2 + y + z = 0
e pede para verificar se S é subespaço vetorial de R^3. Para isso usamos o critério clássico: um subespaço deve conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em S. Substituindo,
0^2 + 0 + 0 = 0,
logo (0,0,0)in S.

Passo 3

Para testar fechamento sob multiplicação escalar, basta encontrar um vetor em S que, multiplicado por um escalar, saia de S. Considere
v = (1,-1,0)
Então
1^2 + (-1) + 0 = 0,
logo vin S.

Passo 4

Agora escale v por lambda = 2:
2v = (2,-2,0)
Verifique a condição em 2v:
2^2 + (-2) + 0 = 4 - 2 = 2 neq 0
Portanto 2vnotin S, mostrando que S não é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

S não é subespaço vetorial de R^3.

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