Mostre que:
integral tg x d x=ln |sec x|+C;

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral tan x ,dx, que é uma integral de função trigonométrica. Vamos usar a técnica de substituição para resolver.

Passo 2

Primeiro, lembramos que tan x = dfracsin xcos x. Assim, reescrevemos a integral como
integral tan x ,dx = integral sin xcos x ,dx

Passo 3

Agora fazemos a substituição u = cos x. Daí segue que
du = -sin x ,dx Longrightarrow sin x ,dx = -du
Substituindo na integral, obtemos
integral sin xcos x ,dx = integral -duu = -integral duu

Passo 4

Sabemos que integral duu = ln|u| + C. Então
-integral duu = -ln|u| + C
Voltando à variável x, temos u = cos x, e portanto
-ln|cos x| + C = lnl|sec xr| + C

Passo 5

Assim chegamos ao resultado desejado.

Resposta

integral tan x,dx = lnl|sec xr| + C

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