Calcule a integral:
integral sen^4 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral sin^4 x,dx. Isso faz parte de integrais de funções trigonométricas em que a gente usa redução de potência para reescrever potências de seno em termos de cossenos de múltiplos de x.

Passo 2

Vamos usar a identidade de redução de potência sin^2 x = 1-cos(2x)2. Aplicando isso em sin^4 x = (sin^2 x)^2, a gente obtém:
sin^4 x = l(sin^2 xr)^2 = (1-cos(2x)2)^2 = 14l(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)r)
Então a integral vira
integral sin^4 x,dx = 14integrall(1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)r)dx
Para integrar o termo cos^2(2x), usamos a redução de potência em cosseno:
cos^2(2x) = 1 + cos(4x)2
Substituindo de volta e simplificando coeficientes, o integrando fica
14l(1 - 2cos(2x) + tfrac1 + cos(4x)2r) = 38 - 12cos(2x) + 18cos(4x)
Agora integramos termo a termo: para integral 38,dx = 3x8, para integral -tfrac12cos(2x),dx = -tfrac12cdottfrac12sin(2x) = -tfrac14sin(2x) e para integral tfrac18cos(4x),dx = tfrac18cdottfrac14sin(4x) = tfrac132sin(4x).

Passo 3

Juntando tudo, a integral é
integral sin^4 x,dx = 3x8 - sin(2x)4 + sin(4x)32 + C

Resposta

tfrac3x8 - tfracsin(2x)4 + tfracsin(4x)32 + C

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