Mostre que integral0^1 d x(1+x) raiz1-x^2 approx 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 dx(1+x)raiz1-x^2
usando técnicas de integração. O conteúdo principal aqui é a substituição trigonométrica x=sin t, que simplifica raiz1-x^2 e nos leva a uma integral em t fácil de resolver.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = sin t, dx = cos t,dt, raiz1-x^2 = cos t,
os limites em x viram limites em t: quando x=0, t=0; quando x=1, t=pi2. A integral passa a ser
integral0^1 dx(1+x)raiz1-x^2 = integral0^pi/2 cos t,dtl(1+sin tr)cos t = integral0^pi/2 dt1+sin t

Passo 3

Para integrar
integral0^pi/2 dt1+sin t,
multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado 1-sin t:
11+sin t = 1-sin t(1+sin t)(1-sin t) = 1-sin t1-sin^2 t = 1-sin tcos^2 t
Logo
integral0^pi/2 dt1+sin t = integral0^pi/2 1-sin tcos^2 t,dt

Passo 4

Escrevendo em termos de funções conhecidas:
1-sin tcos^2 t = 1cos^2 t - sin tcos^2 t = sec^2 t - sec ttan t
Assim
integral0^pi/2 l(sec^2 t - sec ttan tr),dt = l[tan t - sec tr]0^pi/2

Passo 5

Agora avaliamos nos limites. Primeiro em ttopi2:
tan t - sec t = sin tcos t-1cos t = sin t - 1cos t ;xrightarrow[ttopi/2];0
Em t=0:
tan0 - sec0 = 0 - 1 = -1
Portanto
l[tan t - sec tr]0^pi/2 = 0 - (-1) = 1

Resposta

A integral vale exatamente 1.

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