Resolva a integral integral x^7(3 x^4-9)^20 d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos
integral x^7l(3x^4-9r)^20,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição (u-substituição), já que temos uma função composta (3x^4-9)^20 multiplicada por potências de x. A ideia é escolher u=3x^4-9, obter du em função de dx e reescrever toda a integral em termos de u.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 3x^4-9 Longrightarrow du = 12x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = du12
Além disso precisamos reescrever x^7,dx como x^4cdot x^3,dx, e notar que
x^4 = u+93

Passo 3

Reescrevendo a integral original:
integral x^7l(3x^4-9r)^20,dx = integral x^4,x^3,u^20,dx = integral u+93;u^20;du12 = 136integral l(u^21+9u^20r),du

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
136integral l(u^21+9u^20r),du = 136l(u^2222 + 9u^2121r) + C

Passo 5

Bast a simplificar as constantes:
136cdot122 = 1792, 136cdot921 = 184

Passo 6

Voltando para x (onde u=3x^4-9):
integral x^7l(3x^4-9r)^20,dx = (3x^4-9)^22792 + (3x^4-9)^2184 + C

Resposta

(3x^4-9)^22792+(3x^4-9)^2184+C

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