Sejam U=(x1, x2, x3, x4): x1+x2=0 ; 3 x1+x3=0 e V=(x1, x2, x3, x4): 2 x1-x2+x3= 0 ; x3+x4=0 subespaços do espaço vetorial real euclidiano R^4.
(a) Calcule a dimensão do subespaço vetorial U cap V;
(b) Calcule a dimensão do subespaço vetorial U+V;
(c) Encontre um operador linear T: R^4 R^4 cujo núcleo de T seja U cap V e cuja imagem seja U+V.

Passo 1

O enunciado define \r
U=l(x1,x2,x3,x4)inR^4:x1+x2=0,;3x1+x3=0r \r
e \r
V=l(x1,x2,x3,x4)inR^4:2x1-x2+x3=0,;x3+x4=0r. \r
Para (a) e (b) vamos achar bases e dimensões de U, de V e de Ucap V, e usar \r
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V) \r
Para (c), construiremos um operador T:R^4toR^4 com núcleo de dimensão 1 igual a Ucap V e imagem de dimensão 3 igual a U+V, usando a decomposição canônica em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Para \r
Isto dá , e livre. Logo \r
\r
e uma base de é \r
\r
Assim .

Passo 3

Para \r
Da segunda equação . Portanto \r
\r
e uma base de é \r
\r
Logo .

Passo 4

Para Ucap V impomos simultaneamente as quatro equações. Das duas de U já temos \r
x2=-x1, x3=-3x1 \r
Substituindo em x3+x4=0 (de V) dá -3x1+x4=0implies x4=3x1. A outra equação de V é automaticamente satisfeita. Logo \r
(x1,x2,x3,x4)=x1(1,-1,-3,3) \r
e dim(Ucap V)=1.

Passo 5

Pelo teorema da dimensão do soma de subespaços, \r
dim(U+V)=dim U+dim V-dim(Ucap V)=2+2-1=3

Passo 6

Queremos com e . \r
Definimos três funcionais lineares que anulem , por exemplo\r
\r
Note que são simultaneamente zero sse . Além disso, tem base, por exemplo, do Passo 2 e Passo 3. Então podemos definir\r
\r
Isto dá um operador linear cujo núcleo é exatamente , ou seja , e cuja imagem é o espaço gerado por .

Resposta

(a) dim(Ucap V)=1
(b) dim(U+V)=3
(c) Por exemplo, definindo para x=(x1,x2,x3,x4)\r
T(x)=l(x2+x1r)(1,-1,-3,0) +l(x3+3x1r)(0,0,0,1) +l(x4-3x1r)(1,2,0,0), \r
temos ker T=Ucap V e Im T=U+V.

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