Sejam
e
subespaços do espaço vetorial real euclidiano
.
(a) Calcule a dimensão do subespaço vetorial
;
(b) Calcule a dimensão do subespaço vetorial
;
(c) Encontre um operador linear
cujo núcleo de
seja
e cuja imagem seja
.
(a) Calcule a dimensão do subespaço vetorial
(b) Calcule a dimensão do subespaço vetorial
(c) Encontre um operador linear
Passo 1
O enunciado define \r
\r
e \r
. \r
Para (a) e (b) vamos achar bases e dimensões de , de
e de
, e usar \r
e \r
Para (a) e (b) vamos achar bases e dimensões de
Para (c), construiremos um operador
com núcleo de dimensão 1 igual a
e imagem de dimensão 3 igual a
, usando a decomposição canônica em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Para \r
Isto dá , e
livre. Logo \r
e uma base de
é \r
Assim
.
Passo 3
Para \r
Da segunda equação . Portanto \r
e uma base de
é \r
Logo
.
Passo 4
Para
impomos simultaneamente as quatro equações. Das duas de
já temos \r
Substituindo em
(de
) dá
. A outra equação de
é automaticamente satisfeita. Logo \r
e
.
Passo 5
Pelo teorema da dimensão do soma de subespaços, \r
Passo 6
Queremos
com
e
. \r
Definimos três funcionais lineares que anulem , por exemplo\r
Definimos três funcionais lineares que anulem
Note que
são simultaneamente zero sse . Além disso,
tem base, por exemplo,
do Passo 2 e Passo 3. Então podemos definir\r
Isto dá um operador linear
cujo núcleo é exatamente
, ou seja
, e cuja imagem é o espaço gerado por
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Por exemplo, definindo para \r
(b)
(c) Por exemplo, definindo para
temos
e
.