Q. 7. É correto afirmar:
(a) lim x -infty f(x)=+infty Leftrightarrow forall N>0, exists n<0 tal que f(x)<N se x<n;
(b) lim x +infty f(x)=-infty Leftrightarrow forall N<0, exists n>0 tal que f(x)<N se x<n;
(c) lim x a f(x)=+infty Leftrightarrow forall M>0, exists de<a tal que f(x)>M se x>de<a;
(d) lim x a f(x)=-infty Leftrightarrow forall N<0, exists de<a>0 tal que f(x)<N se 0<|x-a|<de<a.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações que tentam dar a definição de limites que envolvem infinito: limites quando xto-infty, xto+infty e limites em um ponto a que tendem a +infty ou -infty. Para resolver, precisamos usar as definições formais desses limites com quantificadores.

Passo 2

Definições formais principais:
limxto -inftyf(x)=+infty iff forall M>0,;exists R<0 tal que se x<R então f(x)>M ã
limxto +inftyf(x)=-infty iff forall N<0,;exists R>0 tal que se x>R então f(x)<N ã
limxto af(x)=+infty iff forall M>0,;exists de<a>0 tal que se 0<|x-a|<de<a então f(x)>M ã
limxto af(x)=-infty iff forall N<0,;exists de<a>0 tal que se 0<|x-a|<de<a então f(x)<N ã

Passo 3

Analisando (a): ela diz
limxto -inftyf(x)=+inftyiff forall N>0,exists n<0 tal que f(x)<N se x<n.
Isso inverteu a desigualdade: em vez de exigir f(x)>N quando x é suficientemente negativo, exige f(x)<N. Logo (a) está incorreta.

Passo 4

Analisando (b): ela diz
limxto +inftyf(x)=-inftyiff forall N<0,exists n>0 tal que f(x)<N se x<n.
A condição correta é x>n, não x<n. Portanto (b) também está incorreta.

Passo 5

Analisando (c): ela diz
limxto af(x)=+inftyiff forall M>0,exists de<a tal que f(x)>M se x>de<a.
Deveria envolver a condição 0<|x-a|<de<a, e não apenas x>de<a. Logo (c) está incorreta.

Passo 6

Analisando (d): ela diz
limxto af(x)=-inftyiff forall N<0,exists de<a>0 tal que f(x)<N se 0<|x-a|<de<a.
Essa é exatamente a definição formal de limite para -infty em um ponto finito. Portanto (d) está correta.

Resposta

(d)

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