Mostre que:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de 0 a 9 de $ \frac{2x}{(x^2 - 9)^{2/3}} , dx $ é igual a $ 9 \sqrt[3]{9} $. Vamos usar os conceitos de cálculo integral, especialmente a técnica de substituição, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador $ (x^2 - 9)^{2/3} $, podemos pensar em usar $ u = x^2 - 9 $.
Passo 3
Calculando a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Perceba que $ 2x , dx $ aparece no numerador da nossa integral, o que é exatamente $ du $. Isso torna a substituição muito conveniente.
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ u^{-2/3} $:
Passo 6
Substituindo de volta $ u = x^2 - 9 $:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 9:
Calculando cada termo:
Portanto:
Passo 8
Sabemos que $ (-9)^{1/3} = -\sqrt[3]{9} $, então:
Mas $ 72 = 8 \times 9 $, então:
Substituindo de volta: