Mostre que:
integral0^9 2 x(x^2-9)^2 / 3 d x=9 raiz[3]9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de 0 a 9 de $ \frac{2x}{(x^2 - 9)^{2/3}} , dx $ é igual a $ 9 \sqrt[3]{9} $. Vamos usar os conceitos de cálculo integral, especialmente a técnica de substituição, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador $ (x^2 - 9)^{2/3} $, podemos pensar em usar $ u = x^2 - 9 $.

Passo 3

Calculando a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
Perceba que $ 2x , dx $ aparece no numerador da nossa integral, o que é exatamente $ du $. Isso torna a substituição muito conveniente.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 2x(x^2 - 9)^2/3 , dx = integral duu^2/3 = integral u^-2/3 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar $ u^{-2/3} $:
u^-2/3

Passo 6

Substituindo de volta $ u = x^2 - 9 $:
u = x^2 - 9

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 9:
[ 3(x^2 - 9)^1/3 ]0^9 = 3(9^2 - 9)^1/3 - 3(0^2 - 9)^1/3
Calculando cada termo:
9^2 - 9 = 81 - 9 = 72 0^2 - 9 = -9
Portanto:
3(72)^1/3 - 3(-9)^1/3

Passo 8

Sabemos que $ (-9)^{1/3} = -\sqrt[3]{9} $, então:
(-9)^1/3 = -raiz[3]9
Mas $ 72 = 8 \times 9 $, então:
3(72)^1/3 - 3(-raiz[3]9) = 3(72)^1/3 + 3raiz[3]9
Substituindo de volta:
72 = 8 times 9

Resposta

9 raiz[3]9

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