Resolva as seguintes integrais:
integral0^a 1raizx(a-x) d x, a>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^a 1raizx(a - x) , dx, com a > 0. Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador raizx(a - x). Para isso, vamos fazer uma substituição que transforma a expressão em algo mais fácil de integrar. Vamos definir:
x = a sin^2 theta
Aqui, theta é uma nova variável que nos ajudará a simplificar a integral. Essa é uma técnica comum chamada substituição trigonométrica.

Passo 3

Com x = a sin^2 theta, precisamos encontrar dx em termos de theta. Derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = 2a sin theta cos theta , dtheta
Isso vem da derivada da função seno ao quadrado.

Passo 4

Agora, vamos substituir x e dx na integral original:
integral 1raiza sin^2 theta (a - a sin^2 theta) cdot 2a sin theta cos theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiza sin^2 theta (a (1 - sin^2 theta)) = raiza^2 sin^2 theta cos^2 theta = a sin theta cos theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral 1a sin theta cos theta cdot 2a sin theta cos theta , dtheta = integral 2 , dtheta
Os termos sin theta cos theta e a se cancelam, simplificando bastante a integral.

Passo 6

Agora, integrar em relação a theta:
integral 2 , dtheta = 2theta + C
Onde C é a constante de integração. Porém, como estamos resolvendo uma integral definida, vamos calcular os limites de integração.

Passo 7

Precisamos determinar os novos limites de integração para theta. Quando x = 0:
0 = a sin^2 theta implies sin theta = 0 implies theta = 0
Quando x = a:
a = a sin^2 theta implies sin^2 theta = 1 implies theta = pi2

Passo 8

Agora, avaliamos a integral entre theta = 0 e theta = pi2:
2theta gr|0^pi2 = 2 cdot pi2 - 2 cdot 0 = pi

Resposta

O valor da integral é pi.

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