Beleza, vamos resolver a integral definida , com . Isso está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais que envolvem funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica que simplifica a expressão dentro da raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para isso, vamos fazer uma substituição que transforma a expressão em algo mais fácil de integrar. Vamos definir:
Aqui, é uma nova variável que nos ajudará a simplificar a integral. Essa é uma técnica comum chamada substituição trigonométrica.
Passo 3
Com , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso vem da derivada da função seno ao quadrado.
Passo 4
Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Os termos e se cancelam, simplificando bastante a integral.
Passo 6
Agora, integrar em relação a :
Onde é a constante de integração. Porém, como estamos resolvendo uma integral definida, vamos calcular os limites de integração.
Passo 7
Precisamos determinar os novos limites de integração para . Quando :