Mostre que
integral0^1 e^-x^2 d x=sumn=0^infty 1n!(2 n+1)

Passo 1

A questão nos pede para mostrar que a integral integral0^1 e^-x^2,dx pode ser escrita como uma série infinita. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) de e^-x^2 e a integração termo a termo de séries que convergem uniformemente.

Passo 2

Começamos pela expansão em série de Taylor de e^u em torno de u=0:
e^u=sumn=0^inftyu^nn!
Fazendo u=-x^2, obtemos:
e^-x^2=sumn=0^infty(-x^2)^nn!=sumn=0^infty(-1)^nx^2nn!

Passo 3

Devemos garantir que podemos integrar esta série termo a termo em [0,1]. Como cada termo (-1)^nx^2n/n! é contínuo e a série converge absolutamente para todo x, ela também converge uniformemente em [0,1]. Pelo teorema de integração de séries uniformemente convergentes, vale:
integral0^1e^-x^2,dx=integral0^1sumn=0^infty(-1)^nx^2nn!,dx=sumn=0^infty(-1)^n1n!integral0^1x^2n,dx

Passo 4

Agora calculamos cada integral simples:
integral0^1x^2n,dx=[x^2n+12n+1]0^1=12n+1
Substituindo de volta na soma, obtemos:
integral0^1e^-x^2,dx=sumn=0^infty(-1)^n1n!cdot12n+1=sumn=0^infty(-1)^nn!,(2n+1)

Passo 5

Portanto, mostramos que a integral pode ser escrita como a série indicada, concluindo a demonstração.

Resposta

sumn=0^infty(-1)^nn!,(2n+1)

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