Mostre que
Passo 1
A questão nos pede para mostrar que a integral
pode ser escrita como uma série infinita. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor (ou Maclaurin) de
e a integração termo a termo de séries que convergem uniformemente.
Passo 2
Começamos pela expansão em série de Taylor de
em torno de
:
Fazendo
, obtemos:
Passo 3
Devemos garantir que podemos integrar esta série termo a termo em
. Como cada termo
é contínuo e a série converge absolutamente para todo
, ela também converge uniformemente em
. Pelo teorema de integração de séries uniformemente convergentes, vale:
Passo 4
Agora calculamos cada integral simples:
Substituindo de volta na soma, obtemos:
Passo 5
Portanto, mostramos que a integral pode ser escrita como a série indicada, concluindo a demonstração.