Use integração para encontrar a representação em série de potências para
Qual é o raio de convergência?
Passo 1
O exercício pede para encontrar a representação em série de potências de usando integração. O conteúdo envolvido é expansão em série de potências e integração termo a termo.
Passo 2
Começamos lembrando que . Para obter a série, vamos usar a fórmula da série geométrica
válida para
.
Passo 3
Substituímos
na expansão geométrica e obtemos
válida para
Passo 4
Integramos termo a termo de 0 até
:
Passo 5
Calculando a integral de
em
temos
. Assim obtemos
Passo 6
A condição de convergência dessa série vem de
, logo o raio de convergência é
.
Resposta
A representação em série de potências de é
e o raio de convergência é