Use integração para encontrar a representação em série de potências para
f(x)=arctg x
Qual é o raio de convergência?

Passo 1

O exercício pede para encontrar a representação em série de potências de usando integração. O conteúdo envolvido é expansão em série de potências e integração termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando que . Para obter a série, vamos usar a fórmula da série geométrica f'(x)=dfracddxarctg x=dfrac11+x^2 válida para dfrac11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n.

Passo 3

Substituímos u=x^2 na expansão geométrica e obtemos
11+x^2=sumn=0^infty(-1)^n x^2n
válida para |x|<1.

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 até x:

Passo 5

Calculando a integral de t^2n em [0,x] temos integral0^xt^2n,dt=x^2n+12n+1. Assim obtemos

Passo 6

A condição de convergência dessa série vem de |x|<1, logo o raio de convergência é R=1.

Resposta

A representação em série de potências de é
f(x)=arctg x
e o raio de convergência é f(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1.

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