Sejam F, G, H três funções definidas em A subset R e a valores em R^3. Verifique que
F wed>=(G+H)=F wed>= G+F wed>= H

Passo 1

Temos três funções vetoriais vec F,vec G,vec H definidas em Asubset R com valores em R^3. O objetivo é mostrar que o produto vetorial distribui no segundo fator: vec Fwed>=(vec G+vec H)=vec Fwed>=vec G+vec Fwed>=vec H. Vamos usar a definição componente a componente do produto vetorial.

Passo 2

O produto vetorial de dois vetores vec x=(x1,x2,x3) e vec y=(y1,y2,y3) em R^3 é dado por
vec xwed>=vec y=l(x2y3 -x3y2,;x3y1 -x1y3,;x1y2 -x2y1r)
Essa definição vale ponto a ponto para funções vetoriais, ou seja, aplica-se para cada tin A.

Passo 3

Denotemos as componentes das funções em um ponto t:
vec F(t)=(F1,F2,F3), vec G(t)=(G1,G2,G3), vec H(t)=(H1,H2,H3)
Então
(vec G+vec H)(t)=(G1+H1,;G2+H2,;G3+H3)

Passo 4

Agora aplicamos a definição do produto vetorial em vec F(t) e (vec G+vec H)(t):
Primeira componente:
F2,(G3+H3)-F3,(G2+H2) =F2G3 -F3G2 +F2H3 -F3H2
Segunda componente:
F3,(G1+H1)-F1,(G3+H3) =F3G1 -F1G3 +F3H1 -F1H3
Terceira componente:
F1,(G2+H2)-F2,(G1+H1) =F1G2 -F2G1 +F1H2 -F2H1
Agrupando os dois conjuntos de termos, cada componente coincide com a soma da componente correspondente de vec Fwed>=vec G e de vec Fwed>=vec H.

Passo 5

Como a igualdade vale em cada componente e para todo tin A, concluímos que as funções vetoriais satisfazem ponto a ponto
vec F(t)wed>=l(vec G(t)+vec H(t)r) =vec F(t)wed>=vec G(t)+vec F(t)wed>=vec H(t)
Portanto, a propriedade distributiva está verificada.

Resposta

vec Fwed>=(vec G+vec H)=vec Fwed>=vec G+vec Fwed>=vec H.

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