Sejam
três funções definidas em
e a valores em
. Verifique que
Passo 1
Temos três funções vetoriais
definidas em
com valores em
. O objetivo é mostrar que o produto vetorial distribui no segundo fator:
. Vamos usar a definição componente a componente do produto vetorial.
Passo 2
O produto vetorial de dois vetores
e
em
é dado por
Essa definição vale ponto a ponto para funções vetoriais, ou seja, aplica-se para cada
.
Passo 3
Denotemos as componentes das funções em um ponto
:
Então
Passo 4
Agora aplicamos a definição do produto vetorial em
e
:
Primeira componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Agrupando os dois conjuntos de termos, cada componente coincide com a soma da componente correspondente de
e de
.
Passo 5
Como a igualdade vale em cada componente e para todo
, concluímos que as funções vetoriais satisfazem ponto a ponto
Portanto, a propriedade distributiva está verificada.