Utilize a substituição x+3=t^2 para calcular
integral1^6 1(2+x) raizx+3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral1^6 1(2+x)raizx+3,dx usando a substituição x+3=t^2. Vamos aplicar uma mudança de variável para transformar essa integral em uma forma mais simples, usando integrais racionais.

Passo 2

Fazendo a substituição x+3=t^2, temos
x = t^2 - 3,
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dx = 2t,dt
Quando x=1, t^2=4 então t=2. Quando x=6, t^2=9 então t=3. Substituindo na integral original, a integral vira
integralt=2^3 1l(2+(t^2-3)r)raizt^2;2t,dt
Note que 2+(t^2-3)=t^2-1 e raizt^2=t (pois t>0 na faixa [2,3]). Então o integrando é
2t(t^2-1)t = 2t^2-1
Portanto a integral é
integral2^3 2t^2-1,dt

Passo 3

Para integrar 2t^2-1 usamos frações parciais. Como
2t^2-1 = At-1 + Bt+1,
nos dá
2 = A(t+1) + B(t-1)
Escolhendo t=1 resulta 2=2ARightarrow A=1; escolhendo t=-1 resulta 2=-2BRightarrow B=-1. Logo
2t^2-1 = 1t-1 - 1t+1
Integrando,
integral 2t^2-1,dt = integral 1t-1,dt - integral 1t+1,dt = ln|t-1| - ln|t+1| + C

Passo 4

Voltando aos limites de 2 a 3:
l[ln|t-1| - ln|t+1|r]2^3 = l(ln2 - ln4r) - l(ln1 - ln3r)
Como ln4=2ln2 e ln1=0, isso fica
(ln2 - 2ln2) - (0 - ln3) = -ln2 + ln3 = ln32

Passo 5

Portanto, o valor da integral é lnl(tfrac32r).

Resposta

lnl(tfrac32r)

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