Para cada uma das funções quadráticas dadas a seguir,determine:raízes(se existirem),vértice, eixo de simetria,conjunto imagem e esboce o gráfico.
g(x)=x^2-2 x-3

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função quadrática g(x)=x^2-2x-3. Precisamos determinar suas raízes, vértice, eixo de simetria, conjunto imagem e esboçar o gráfico. Para isso usaremos o cálculo do discriminante, as fórmulas de raízes e a localização do vértice.

Passo 2

Para encontrar as raízes, calcula-se o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4cdot1cdot(-3) = 4 + 12 = 16
Como De<a>0, existem duas raízes reais, dadas por
x = -b pm raizDe<a2a = 2 pm 42 Longrightarrow x1 = 3, x2 = -1

Passo 3

Para o vértice, usa-se xv = -tfracb2a:
xv = 22 = 1
O valor de yv obtém-se em g(1):
yv = g(1) = 1^2 - 2cdot1 - 3 = -4
Portanto o vértice é (1,-4).

Passo 4

O eixo de simetria é a reta vertical que passa pelo vértice:
x = 1

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 é a=1>0, a parábola abre para cima e o conjunto imagem é
,ymid y>= -4 = [-4,+infty)

Passo 6

Para esboçar o gráfico, marque os pontos de interseção com o eixo x em (-1,0) e (3,0), o vértice em (1,-4), trace o eixo x=1 como linha de simetria e desenhe uma curva em U que abra para cima.

Resposta

raízes: x=-1 e x=3.
vértice: (1,-4).
eixo de simetria: x=1.
conjunto imagem: [-4,+infty).
gráfico: parábola com vértice em (1,-4), interceptando o eixo x em -1 e 3, abrindo para cima.

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