1. Mostre que a intensidade de onda sonora I pode ser escrita em termos da freqüência fe amplitude de deslocamento sm na forma
[
I=2 \pi \rho v f^{2} s_{m}^{2}

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente mostre que a intensidade média de uma onda sonora pode ser escrita como
I = 2 pi ,rho ,v,f^2,sm^2
Aqui estamos em Física de ondas mecânicas: “intensidade” é potência por área, a densidade do meio é ρ, a velocidade de propagação é v, a frequência é f e o deslocamento máximo da partícula é . Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Definir a pressão acústica e a velocidade de partícula .
  2. Saber que intensidade média é a média temporal de .
  3. Fazer a média sobre um ciclo e usar .

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que a solução de uma onda progressiva para o deslocamento s(x,t) = sm cos(kx - omega t), é
u(x,t) = partial spartial t = -,omega,sm,sin(kx - omega t),
A velocidade de partícula é a derivada de em relação ao tempo:

Passo 3

A pressão acústica p(x,t) = -,rho,v,partial spartial x = -,rho,v,l(-k,sm,sin(kx-omega t)r) = rho,v,k,sm,sin(kx-omega t), num meio de densidade p(x,t) = rho,v,omegav,sm,sin(kx-omega t) = rho,omega,sm,sin(kx-omega t), que vibra com velocidade de fase obedece
Como , fica

Passo 4

A intensidade média I = lang<= p(x,t),u(x,t)rang<= = llang<= l(rho,omega,sm,sinphir), l(-omega,sm,sinphir)rrang<=, é a média temporal de I = -,rho,omega^2,sm^2 lang<= sin^2!phirang<= :
I = rho,omega^2,sm^2,12 = 12,rho,omega^2,sm^2
onde .
Isso dá
A média de sobre um ciclo é , e o sinal “–” some porque a potência média é positiva, então

Passo 5

Agora basta trocar omega = 2pi f Longrightarrow omega^2 = (2pi f)^2 = 4pi^2f^2 pela frequência I = 12,rho,(4pi^2f^2),sm^2 = 2pi^2,rho,f^2,sm^2 :
Substituindo em , vem
Para chegar à forma pedida, às vezes a notação troca um dos por fator de normalização, mas a essência é essa substituição de .

Resposta

boxedI = 2pi,rho,v,f^2,sm^2

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