Encontre as equações para os círculos de curvatura da elipse de equação
x^24+y^29=1
nos pontos (2,0) e (0,3). Esboce a elipse e os círculos de curvatura em questão.

Passo 1

O enunciado pede as equações dos círculos de curvatura (círculos osculadores) da elipse de equação
x^24+y^29=1
os pontos (2,0) e (0,3). Vamos usar o conteúdo de curvatura de curvas planas e a definição de raio e centro do círculo osculador. Precisaremos parametrizar a elipse e usar a fórmula de curvatura kappa e o vetor normal unitário.

Passo 2

Para parametrizar a elipse, tomamos
x(t)=2cos t, y(t)=3sin t
Suas derivadas são
x'(t)=-2sin t, x''(t)=-2cos t,
y'(t)=3cos t, y''(t)=-3sin t
A curvatura é dada por
kappa(t)=|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|l(x'(t)^2+y'(t)^2r)^3/2

Passo 3

Agora avaliamos em t=0 (que corresponde a (2,0)) e em t= pi/2 (que corresponde a (0,3)).
Para t=0:
x'(0)=0,;x''(0)=-2,;y'(0)=3,;y''(0)=0
Logo
kappa(0)=|0cdot0-3cdot(-2)|(0^2+3^2)^3/2=627=29
O raio de curvatura é R(0)=1/kappa(0)=9/2.
Para t= pi/2:
x'(tfracpi2)=-2,;x''(tfracpi2)=0,;y'(tfracpi2)=0,;y''(tfracpi2)=-3
Então
kappa(tfracpi2)=|-2cdot(-3)-0cdot0|((-2)^2+0^2)^3/2=68=34,
com raio R(tfracpi2)=4/3.

Passo 4

Para achar o centro do círculo osculador, usamos que ele está no ponto dado mais o vetor normal unitário (voltado para o interior da curva) multiplicado por R.
No ponto (2,0) a normal interna é (-1,0), pois a normal externa é (1,0). Logo o centro é
(2,0)+l(-1,0r)cdot92=l(2-tfrac92,0r)=l(-tfrac52,0r)
A equação do círculo é
l(x+tfrac52r)^2+y^2=l(tfrac92r)^2=tfrac814
No ponto (0,3) a normal interna é (0,-1), então o centro é
(0,3)+l(0,-1r)cdottfrac43=l(0,3-tfrac43r)=l(0,tfrac53r)
A equação do círculo é
x^2+l(y-tfrac53r)^2=l(tfrac43r)^2=tfrac169
Para esboçar, desenhe a elipse principal centrada na origem, os eixos de comprimento 4 e 6, e trace os dois círculos com centros em (-5/2,0) e (0,5/3) e raios 9/2 e 4/3 tangentando a elipse nos pontos dados.

Resposta

As equações dos círculos de curvatura são:
No ponto (2,0):
l(x+tfrac52r)^2+y^2=tfrac814
No ponto (0,3):
x^2+l(y-tfrac53r)^2=tfrac169

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