Encontre as equações para os círculos de curvatura da elipse de equação
nos pontos
e
. Esboce a elipse e os círculos de curvatura em questão.
Passo 1
O enunciado pede as equações dos círculos de curvatura (círculos osculadores) da elipse de equação
os pontos (2,0) e (0,3). Vamos usar o conteúdo de curvatura de curvas planas e a definição de raio e centro do círculo osculador. Precisaremos parametrizar a elipse e usar a fórmula de curvatura
e o vetor normal unitário.
Passo 2
Para parametrizar a elipse, tomamos
Suas derivadas são
A curvatura é dada por
Passo 3
Agora avaliamos em t=0 (que corresponde a (2,0)) e em t=
(que corresponde a (0,3)).
Para t=0:
Para t=0:
Logo
O raio de curvatura é
.
Para t=
:
Então
com raio
.
Passo 4
Para achar o centro do círculo osculador, usamos que ele está no ponto dado mais o vetor normal unitário (voltado para o interior da curva) multiplicado por
.
No ponto (2,0) a normal interna é , pois a normal externa é
. Logo o centro é
No ponto (2,0) a normal interna é
A equação do círculo é
No ponto (0,3) a normal interna é
, então o centro é
A equação do círculo é
Para esboçar, desenhe a elipse principal centrada na origem, os eixos de comprimento 4 e 6, e trace os dois círculos com centros em
e
e raios
e
tangentando a elipse nos pontos dados.
Resposta
As equações dos círculos de curvatura são:
No ponto (2,0):
No ponto (0,3):