Mostre que o intervalo ( 0,1 ] não é um conjunto aberto, nem um conjunto fechado. Mostre com cálculos Faça a demonstraçao com numeros e formulas
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que diz para mostrar que o intervalo $ (0,1] $ não é um conjunto aberto e não é um conjunto fechado. A matéria envolvida aqui é topologia básica na análise real, onde estudamos conceitos como conjuntos abertos e fechados. Para resolver isso, vamos usar definições formais e verificar com exemplos específicos dentro do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto aberto. Em termos simples, um conjunto é aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Isso significa que para cada ponto no conjunto, podemos desenhar uma “vizinhança” ao redor dele que ainda está totalmente dentro do conjunto.
Vamos verificar se $ (0,1] $ é aberto. Vamos pegar um ponto que está no limite do intervalo, por exemplo, o ponto $ 1 $.
Imagine que tentamos desenhar uma vizinhança ao redor de $ 1 $, por exemplo, um intervalo $ (1 - \epsilon, 1 + \epsilon) $ onde $ \epsilon $ é um número muito pequeno positivo.
No caso de $ 1 $, qualquer
fará com que $ 1 + \epsilon $ esteja fora de $ (0,1] $, ou seja, $ 1 + \epsilon $ não está no conjunto. Portanto, não conseguimos encontrar uma vizinhança inteira de $ 1 $ que esteja dentro de $ (0,1] $.
Passo 3
Como não conseguimos uma vizinhança inteira para o ponto $ 1 $ dentro de $ (0,1] $, isso significa que $ 1 $ não é um ponto interior do conjunto. Logo, $ (0,1] $ não é aberto.
Passo 4
Agora, vamos verificar se $ (0,1] $ é um conjunto fechado. Um conjunto é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou limites). Em outras palavras, se uma sequência de pontos dentro do conjunto converge para um ponto, esse ponto também deve estar no conjunto.
Vamos olhar para o ponto $ 0 $. Embora $ 0 $ não esteja no intervalo $ (0,1] $, podemos considerar uma sequência de números que se aproximam de $ 0 $, como $ \frac{1}{n} $ para $ n = 1, 2, 3, \dots $. Essa sequência está dentro de $ (0,1] $ e converge para $ 0 $.
Passo 5
Como o ponto limite $ 0 $ não está incluído no intervalo $ (0,1] $, isso significa que $ (0,1] $ não contém todos os seus pontos de acumulação. Portanto, $ (0,1] $ não é fechado.
Resposta
Concluímos que o intervalo $ (0,1] $ não é um conjunto aberto nem fechado.