Mostre que no intervalo
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no intervalo
, a função
— que é ímpar em
— admite a expansão em série de Fourier apenas em termos de senos:
Para isso vamos usar o fato de que, para uma função ímpar
em
,
Passo 2
Escrevemos o coeficiente geral da série de Fourier em senos:
Definimos
Assim
.
Passo 3
Vamos calcular
por partes duas vezes.
- Ponha
,
. Então , .
Isso dá
Como
e
, o primeiro termo é
Passo 4
- Denote
. Integramos por partes novamente:
escolha, . Então
,
. Assim
Como
, o termo de contorno some e fica
Passo 5
Substituindo
em
do Passo 3, obtemos
Isolando
,
Passo 6
Voltemos ao coeficiente
Lembrando
e
, temos
onde, para emparelhar com o enunciado, tomamos
. Então
Como
, podemos reescrever
e concluímos a expansão.
Resposta
válido para
com
.