a) (1,0) Verifique se a equação
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}(x)-x y^{\prime}(x)+n^{2} y(x)=0
onde n é uma constante, é auto-adjunta. Caso não seja, encontre um. modo de torná-la autoadjunta. Determine a relação de ortogonalidade de suas autolunções e a formule nos termos da teoria de Sturm-Lionville.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
(1 - x^{2})\,y''(x)\;-\;x\,y'(x)\;+\;n^{2}\,y(x)=0
é auto-adjunta; se não for, encontrar um modo de torná-la auto-adjunta e, em seguida, determinar a relação de ortogonalidade das suas autofunções no contexto da teoria de Sturm–Liouville. Para isso vamos usar:
  • a forma geral p(x)y''+q(x)y'+r(x)y=0 e a condição q(x)=p'(x) para auto-adjuntidade;
  • o fator integrante \mu(x) para ajustar essa condição;
  • identificação de p(x), w(x) e \lambda na forma de Sturm–Liouville.

Passo 2

Escrevendo
p(x)=1-x^{2},\quad q(x)=-x,\quad r(x)=n^{2},
a condição de auto-adjuntidade sem fator extra seria
q(x)=p'(x).
Mas
p'(x)=\tfrac{d}{dx}(1-x^2)=-2x,
e q(x)=-x\neq-2x. Portanto, a equação não é auto-adjunta nessa forma.

Passo 3

Procuramos \mu(x) tal que, multiplicando a equação original por \mu(x), venha a ter a forma
\frac{d}{dx}\bigl[P(x)y'(x)\bigr]+n^{2}\,w(x)\,y(x)=0,
com P(x)=\mu(x)p(x) e w(x)=\mu(x). A condição P'(x)=\mu(x)q(x)
\mu'(x)\,p(x)+\mu(x)\,p'(x)=\mu(x)\,q(x) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu'(x)}{\mu(x)} =\frac{q(x)-p'(x)}{p(x)} =\frac{-x-(-2x)}{1-x^2} =\frac{x}{1-x^2}.
Integrando,
\ln\mu(x)=\int\frac{x}{1-x^2}dx =-\tfrac12\ln(1-x^2)+C \quad\Longrightarrow\quad \mu(x)=(1-x^2)^{-\tfrac12}
(escolhendo C=0).

Passo 4

Multiplicando por \mu(x) obtemos a forma auto-adjunta
\frac{d}{dx}\Bigl[(1-x^2)^{\tfrac12}\,y'(x)\Bigr] + n^2\,(1-x^2)^{-\tfrac12}\,y(x)=0.
Isto é um problema de Sturm–Liouville em -1<x<1 com
p(x)=(1-x^2)^{\tfrac12},\quad w(x)=(1-x^2)^{-\tfrac12},\quad \lambda=n^2.
As soluções regulares são os polinômios de Chebyshev de primeira espécie \;T_n(x)=\cos\bigl(n\operatorname{arccos} x\bigr),.

Passo 5

Pela teoria de Sturm–Liouville, as autofunções T_m e T_n satisfazem
\int_{-1}^{1}T_m(x)\,T_n(x)\,w(x)\,dx=0 \quad(m\neq n).
Substituindo w(x)=(1-x^2)^{-\tfrac12}, temos
\int_{-1}^{1}\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =0\quad(m\neq n),
e para m=n \int_{-1}^{1}\frac{[T_n(x)]^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\begin{cases} \pi, & n=0,\\\ \dfrac{\pi}{2}, & n\ge1. \end{cases}

Resposta

A equação não é auto-adjunta; multiplicando por \mu(x)=(1-x^2)^{-1/2} obtém-se a forma Sturm–Liouville
\frac{d}{dx}\bigl[(1-x^2)^{\tfrac12}y'(x)\bigr]+n^2(1-x^2)^{-\tfrac12}y(x)=0
com peso w(x)=(1-x^2)^{-1/2}. As autofunções \displaystyle T_n(x)=\cos\bigl(n\operatorname{arccos} x\bigr)
são ortogonais segundo
\int_{-1}^{1}\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =0\quad(m\neq n),
e os casos m=n valem \pi para n=0 e \pi/2 para n\ge1.

Exercícios relacionados