a)
Verifique se a equação
onde
é uma constante, é auto-adjunta. Caso não seja, encontre um. modo de torná-la autoadjunta. Determine a relação de ortogonalidade de suas autolunções e a formule nos termos da teoria de Sturm-Lionville.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação
é auto-adjunta; se não for, encontrar um modo de torná-la auto-adjunta e, em seguida, determinar a relação de ortogonalidade das suas autofunções no contexto da teoria de Sturm–Liouville. Para isso vamos usar:
- a forma geral
e a condição para auto-adjuntidade; - o fator integrante
para ajustar essa condição; - identificação de
, e na forma de Sturm–Liouville.
Passo 2
Escrevendo
a condição de auto-adjuntidade sem fator extra seria
Mas
e
. Portanto, a equação não é auto-adjunta nessa forma.
Passo 3
Procuramos
tal que, multiplicando a equação original por
, venha a ter a forma
com
e
. A condição
dá
Integrando,
(escolhendo
).
Passo 4
Multiplicando por
obtemos a forma auto-adjunta
Isto é um problema de Sturm–Liouville em
com
As soluções regulares são os polinômios de Chebyshev de primeira espécie
,.
Passo 5
Pela teoria de Sturm–Liouville, as autofunções
e
satisfazem
Substituindo
, temos
e para
Resposta
A equação não é auto-adjunta; multiplicando por
obtém-se a forma Sturm–Liouville
com peso
. As autofunções
são ortogonais segundo
são ortogonais segundo
e os casos
valem
para
e
para
.