Mostre que
Se A é invertível, então \left(A^{2}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado que A é invertível, vale
\left(A^{2}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{2}.
Informações dadas:
\n
  • Sabemos que A é uma matriz quadrada invertível. Isso significa que existe uma matriz A^{-1} tal que
A A^{-1}=I \quad\text{e}\quad A^{-1}A=I,
onde I é a matriz identidade de dimensão compatível com A.
\n
  • O que precisamos provar é que a inversa da matriz A^{2} (ou seja, A multiplicada por si mesma) é exatamente a matriz (A^{-1})^{2} (ou seja, A^{-1} multiplicada por si mesma).

Passo 2

Relembrando a definição e propriedades que vamos usar (aulas curtinhas e diretas):
\n
  • A definição de inversa: para uma matriz quadrada M, dizemos que N é a inversa de M quando
M N = I \quad\text{e}\quad N M = I.
Se uma matriz tem inversa, essa inversa é única (vou provar isso num passo abaixo).
\n
  • Multiplicação de matrizes é associativa: para matrizes compatíveis, temos
(BC)D = B(CD).
Isso permite reagrupamentos sem mudar a ordem dos fatores.

Passo 3

Mostro que (A^{-1})^{2} é inversa à direita de A^{2}, ou seja, que
A^{2}\,(A^{-1})^{2}=I.
Cálculo passo a passo (usando associatividade e A A^{-1}=I):
A^{2}\,(A^{-1})^{2} = A A \, A^{-1} A^{-1}
= A\,(A A^{-1})\,A^{-1}
= A\,I\,A^{-1}
= A\,A^{-1}
= I.
Cada igualdade usa apenas reagrupamento e o fato A A^{-1}=I.

Passo 4

Agora mostro que (A^{-1})^{2} é também inversa à esquerda de A^{2}, ou seja, que
(A^{-1})^{2}\,A^{2}=I.
Cálculo passo a passo:
(A^{-1})^{2}\,A^{2} = A^{-1} A^{-1}\,A A
= A^{-1}\,(A^{-1}A)\,A
= A^{-1}\,I\,A
= A^{-1}A
= I.
Aqui usamos A^{-1}A=I e associatividade.

Passo 5

Concluímos das Passos 3 e 4 que (A^{-1})^{2} é uma inversa de A^{2} (porque multiplica A^{2} à direita e à esquerda e dá I). Agora uso um fato importante: a inversa de uma matriz é única. Prova curta da unicidade (útil para provas na prova):
\n
Se B e C são inversas de uma mesma matriz M, então
B = B I = B (M C) = (B M) C = I C = C.
Logo B=C. Aplicando isso aqui, qualquer inversa de A^{2} deve coincidir com (A^{-1})^{2}.

Passo 6

Portanto, como (A^{-1})^{2} é uma inversa de A^{2} e a inversa é única, segue-se que
\left(A^{2}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{2}.

Resposta

\left(A^{2}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{2}

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