Mostre que
Se
é invertível, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado que
é invertível, vale
Informações dadas:
\n
\n
- Sabemos que
é uma matriz quadrada invertível. Isso significa que existe uma matriz tal que
onde
é a matriz identidade de dimensão compatível com
.
\n
\n
- O que precisamos provar é que a inversa da matriz
(ou seja, multiplicada por si mesma) é exatamente a matriz (ou seja, multiplicada por si mesma).
Passo 2
Relembrando a definição e propriedades que vamos usar (aulas curtinhas e diretas):
\n
\n
- A definição de inversa: para uma matriz quadrada
, dizemos que é a inversa de quando
Se uma matriz tem inversa, essa inversa é única (vou provar isso num passo abaixo).
\n
\n
- Multiplicação de matrizes é associativa: para matrizes compatíveis, temos
Isso permite reagrupamentos sem mudar a ordem dos fatores.
Passo 3
Mostro que
é inversa à direita de
, ou seja, que
Cálculo passo a passo (usando associatividade e
):
Cada igualdade usa apenas reagrupamento e o fato
.
Passo 4
Agora mostro que
é também inversa à esquerda de
, ou seja, que
Cálculo passo a passo:
Aqui usamos
e associatividade.
Passo 5
Concluímos das Passos 3 e 4 que
é uma inversa de
(porque multiplica
à direita e à esquerda e dá
). Agora uso um fato importante: a inversa de uma matriz é única. Prova curta da unicidade (útil para provas na prova):
\n
Se e
são inversas de uma mesma matriz
, então
\n
Se
Logo
. Aplicando isso aqui, qualquer inversa de
deve coincidir com
.
Passo 6
Portanto, como
é uma inversa de
e a inversa é única, segue-se que