Mostre que o triângulo obtusângulo tem dois ângulos agudos.

Passo 1

O enunciado diz: temos um triângulo que é obtusângulo. Isso significa que um dos seus ângulos internos mede mais que 90^\circ. O objetivo é mostrar que os outros dois ângulos do triângulo são agudos, ou seja, que cada um deles mede menos que 90^\circ. Informações relevantes que já temos do enunciado e da definição de triângulo:
  • Um triângulo tem três ângulos internos; chamo-os de \alpha, \beta e \gamma.
  • O triângulo é obtusângulo, então, sem perda de generalidade, podemos tomar \alpha>90^\circ.
  • As medidas dos ângulos internos são números positivos e a soma das três medidas é 180^\circ. (Não vou provar ainda; só anoto como informação usada.)

Passo 2

Explico rapidamente a propriedade que vamos usar: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180^\circ. Uma demonstração simples (intuitiva) é: traçando por um vértice uma reta paralela ao lado oposto, aparecem ângulos alternos internos iguais aos dois ângulos do triângulo adjacentes a esse vértice; assim, a soma desses três ângulos é uma linha reta, isto é, 180^\circ. Aqui estou só lembrando e justificando a fórmula principal que usaremos.
Também defino explicitamente os termos que uso: ângulo obtuso = ângulo com medida maior que 90^\circ; ângulo agudo = ângulo com medida menor que 90^\circ.

Passo 3

Agora usemos as notações do Passo 1. Como \alpha,\beta,\gamma são as medidas dos ângulos internos e a soma é 180^\circ, temos:
\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.
Como \alpha é obtuso, isto é \alpha>90^\circ, subtraindo \alpha dos dois lados obtemos a soma dos outros dois ângulos:
\beta+\gamma = 180^\circ - \alpha.

Passo 4

Usando \alpha>90^\circ na expressão do Passo 3, concluímos que
\beta+\gamma = 180^\circ - \alpha < 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ.
Portanto a soma \beta+\gamma é estritamente menor que 90^\circ.

Passo 5

Agora raciocinamos sobre dois números positivos cuja soma é menor que 90^\circ. Sabemos que \beta>0 e \gamma>0 porque são ângulos internos de um triângulo. Se, por absurdo, um deles fosse maior ou igual a 90^\circ, digamos \beta\ge 90^\circ, então a soma \beta+\gamma seria \ge 90^\circ (pois \gamma>0), o que contradiz a desigualdade do Passo 4. Assim não é possível que \beta nem \gamma sejam \ge 90^\circ. Logo cada um deles é estritamente menor que 90^\circ.

Passo 6

Concluímos que \beta<90^\circ e \gamma<90^\circ, ou seja, os dois ângulos restantes são agudos. Um exemplo numérico para intuir: se \alpha=120^\circ (obtuso), então \beta+\gamma=60^\circ e assim cada um dos outros dois é necessariamente menor que 90^\circ.

Resposta

Os dois ângulos restantes são agudos (cada um mede menos que 90^\circ).

Exercícios relacionados