Mostre que o triângulo obtusângulo tem dois ângulos agudos.
Passo 1
O enunciado diz: temos um triângulo que é obtusângulo. Isso significa que um dos seus ângulos internos mede mais que
. O objetivo é mostrar que os outros dois ângulos do triângulo são agudos, ou seja, que cada um deles mede menos que
. Informações relevantes que já temos do enunciado e da definição de triângulo:
- Um triângulo tem três ângulos internos; chamo-os de
, e . - O triângulo é obtusângulo, então, sem perda de generalidade, podemos tomar
. - As medidas dos ângulos internos são números positivos e a soma das três medidas é
. (Não vou provar ainda; só anoto como informação usada.)
Passo 2
Explico rapidamente a propriedade que vamos usar: a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é
. Uma demonstração simples (intuitiva) é: traçando por um vértice uma reta paralela ao lado oposto, aparecem ângulos alternos internos iguais aos dois ângulos do triângulo adjacentes a esse vértice; assim, a soma desses três ângulos é uma linha reta, isto é,
. Aqui estou só lembrando e justificando a fórmula principal que usaremos.
Também defino explicitamente os termos que uso: ângulo obtuso = ângulo com medida maior que ; ângulo agudo = ângulo com medida menor que
.
Também defino explicitamente os termos que uso: ângulo obtuso = ângulo com medida maior que
Passo 3
Agora usemos as notações do Passo 1. Como
são as medidas dos ângulos internos e a soma é
, temos:
Como
é obtuso, isto é
, subtraindo
dos dois lados obtemos a soma dos outros dois ângulos:
Passo 4
Usando
na expressão do Passo 3, concluímos que
Portanto a soma
é estritamente menor que
.
Passo 5
Agora raciocinamos sobre dois números positivos cuja soma é menor que
. Sabemos que
e
porque são ângulos internos de um triângulo. Se, por absurdo, um deles fosse maior ou igual a
, digamos
, então a soma
seria
(pois
), o que contradiz a desigualdade do Passo 4. Assim não é possível que
nem
sejam
. Logo cada um deles é estritamente menor que
.
Passo 6
Concluímos que
e
, ou seja, os dois ângulos restantes são agudos. Um exemplo numérico para intuir: se
(obtuso), então
e assim cada um dos outros dois é necessariamente menor que
.
Resposta
Os dois ângulos restantes são agudos (cada um mede menos que
).