Se P é um ponto interno de um triângulo A B C, mostre que: \overline{P B}+\overline{P C}<\overline{A B}+\overline{A C}.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo A B C e um ponto P interior a esse triângulo (ou seja, P está dentro da região limitada pelos lados A B, B C e C A). A pergunta é mostrar a desigualdade
As informações relevantes: P é interno (logo P não pertence a nenhum dos lados do triângulo) e conhecemos os três vértices A,B,C. Não há mais dados numéricos — a prova deve ser geométrica e válida para qualquer triângulo e qualquer ponto P interno.
Passo 2
Vamos construir dois pontos auxiliares muito úteis. Desenhe a reta através de P paralela a A C e chame Y o ponto onde essa reta encontra o segmento A B. Desenhe a reta através de P paralela a A B e chame X o ponto onde essa reta encontra o segmento A C.
Explicação didática: como P está dentro do triângulo, a reta por P paralela a A C intercepta o segmento A B em um ponto interior a A B; então Y fica entre A e B. De modo análogo, a reta por P paralela a A B intercepta o segmento A C em um ponto interior a A C; então X fica entre A e C.
Passo 3
Mostramos que o quadrilátero A X Y P é um paralelogramo. Isso porque, por construção, temos
P Y \parallel A X \qquad\text{e}\qquad P X \parallel A Y.
Um quadrilátero com duas pares de lados opostos paralelos é um paralelogramo. Uma propriedade importantíssima de paralelogramos que usaremos é: lados opostos são congruentes; assim
A X = P Y \qquad\text{e}\qquad A Y = P X.
Passo 4
Aplicamos a desigualdade triangular ao triângulo P B Y. A desigualdade triangular diz que, para quaisquer três pontos U,V,W, tem-se U V \le U W + W V; quando os três pontos não são colineares a desigualdade é estrita: U V < U W + W V. Aqui, P, B, Y não são colineares porque Y está em A B enquanto P está no interior do triângulo (logo não sobre A B). Portanto
\overline{P B}<\overline{P Y}+\overline{Y B}.
Agora substituímos \overline{P Y}=\overline{A X} (propriedade do paralelogramo) e \overline{Y B}=\overline{A B}-\overline{A Y} (já que Y está entre A e B). Assim obtemos