Mostre que R^m times n, com as operações usuais de adição e multiplicação usuais de matrizes satisfaz as propriedades de espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto R^mtimes n, munido da adição de matrizes e da multiplicação de matrizes por escalar (ambas definidas de forma componente a componente), satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo R. Para isso precisamos usar propriedades elementares de R (fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elementos neutro e inverso em adição; e distributividade e associatividade na multiplicação por escalar).

Passo 2

Mostramos primeiro os axiomas relativos à adição de matrizes.
  1. Fechamento: se A=(aij) e B=(bij) estão em R^mtimes n, então
A+B=(aij+bij)
também tem entradas em R, logo A+BinR^mtimes n
2. Comutatividade: como em R vale aij+bij=bij+aij para todo i,j, segue
A+B=(aij+bij)=(bij+aij)=B+A
  1. Associatividade: usando que em R (aij+bij)+cij=aij+(bij+cij), temos
(A+B)+C=((aij+bij)+cij)=(aij+(bij+cij))=A+(B+C)

Passo 3

Agora garantimos a existência do vetor neutro e dos inversos aditivos.
  1. Neutro aditivo: a matriz zero 0=(0ij), onde 0ij=0inR, satisfaz
A+0=(aij+0)=(aij)=Ae0+A=A
  1. Inverso aditivo: dado A=(aij), defina -A=(-aij). Como em R vale aij+(-aij)=0, segue
A+(-A)=(aij+(-aij))=(0ij)=0,,
logo todo vetor tem inverso aditivo.

Passo 4

Passamos aos axiomas envolvendo multiplicação por escalar. Primeiro, o fechamento e a distributividade em relação à soma de matrizes.
  1. Fechamento: se lambdainR e A=(aij), então
lambda A=(lambda,aij)
é de fato uma matriz em R^mtimes n.
2. Distributividade sobre vetores: para lambdainR e A,BinR^mtimes n
lambda(A+B)=(lambda,(aij+bij))=((lambda,aij)+(lambda,bij))=lambda A+lambda B,
pois em R lambda(x+y)=lambda x+lambda y.

Passo 5

Mostramos agora a distributividade em relação à soma de escalares e a associatividade de escalar-vetor.
  1. Distributividade sobre escalares: para lambda,muinR e A=(aij)
(lambda+mu)A=((lambda+mu),aij)=((lambda,aij)+(mu,aij))=lambda A+mu A
  1. Associatividade escalar:
(lambdamu)A=((lambdamu),aij)=(lambda,(mu,aij))=lambda(mu A),
usando em R a associatividade de produto.

Passo 6

Por fim, mostramos que o escalar 1 age como elemento neutro da multiplicação por escalar: para todo A=(aij)
1cdot A=(1cdot aij)=(aij)=A

Resposta

Como verificamos os oito axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição; existência de neutro e inverso aditivo; fechamento da multiplicação por escalar; duas distributividades; associatividade escalar; e neutro escalar), concluímos que R^mtimes n é de fato um espaço vetorial sobre R.

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