Mostre que
, com as operações usuais de adição e multiplicação usuais de matrizes satisfaz as propriedades de espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
, munido da adição de matrizes e da multiplicação de matrizes por escalar (ambas definidas de forma componente a componente), satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial sobre o corpo
. Para isso precisamos usar propriedades elementares de
(fechamento, comutatividade, associatividade, existência de elementos neutro e inverso em adição; e distributividade e associatividade na multiplicação por escalar).
Passo 2
Mostramos primeiro os axiomas relativos à adição de matrizes.
- Fechamento: se
e estão em , então
também tem entradas em
, logo
2. Comutatividade: como em vale
para todo
, segue
2. Comutatividade: como em
- Associatividade: usando que em
, temos
Passo 3
Agora garantimos a existência do vetor neutro e dos inversos aditivos.
- Neutro aditivo: a matriz zero
, onde , satisfaz
- Inverso aditivo: dado
, defina . Como em vale , segue
logo todo vetor tem inverso aditivo.
Passo 4
Passamos aos axiomas envolvendo multiplicação por escalar. Primeiro, o fechamento e a distributividade em relação à soma de matrizes.
- Fechamento: se
e , então
é de fato uma matriz em
.
2. Distributividade sobre vetores: para e
2. Distributividade sobre vetores: para
pois em
.
Passo 5
Mostramos agora a distributividade em relação à soma de escalares e a associatividade de escalar-vetor.
- Distributividade sobre escalares: para
e
- Associatividade escalar:
usando em
a associatividade de produto.
Passo 6
Por fim, mostramos que o escalar
age como elemento neutro da multiplicação por escalar: para todo
Resposta
Como verificamos os oito axiomas de espaço vetorial (fechamento, comutatividade e associatividade da adição; existência de neutro e inverso aditivo; fechamento da multiplicação por escalar; duas distributividades; associatividade escalar; e neutro escalar), concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.