Em um espaço veorial, mostre que, se w+u=w então u=0. Mostre ainda que, se w+u=0 então u=-w.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas propriedades em um espaço vetorial: a lei de cancelamento aditivo (se w+u=w então u=0) e a caracterização do inverso aditivo (se w+u=0 então u=-w). Para isso vamos usar os axiomas de existência do elemento neutro aditivo ( 0), do inverso aditivo (para cada w existe -w tal que w+(-w)=0) e de associatividade da adição.

Passo 2

Suponha que
w + u = w
Como existe -w tal que w + (-w)=0, some -w à esquerda de ambos os lados:
-w + (w + u) = -w + w
Pela associatividade da adição, (-w + w) + u = 0 + u = u, e como -w+w=0 o lado direito vale 0. Portanto
u = 0

Passo 3

Agora suponha que
w + u = 0
Somamos de novo -w à esquerda de cada lado:
-w + (w + u) = -w + 0
Pela associatividade, (-w + w) + u = 0 + u = u, e -w + 0 = -w. Logo
u = -w

Resposta

u=0 e u=-w.

Exercícios relacionados