Em um espaço veorial, mostre que, se
então
. Mostre ainda que, se
então
.
Passo 1
O enunciado pede para provar duas propriedades em um espaço vetorial: a lei de cancelamento aditivo (se
então
) e a caracterização do inverso aditivo (se
então
). Para isso vamos usar os axiomas de existência do elemento neutro aditivo (
), do inverso aditivo (para cada
existe
tal que
) e de associatividade da adição.
Passo 2
Suponha que
Como existe
tal que
, some
à esquerda de ambos os lados:
Pela associatividade da adição,
, e como
o lado direito vale
. Portanto
Passo 3
Agora suponha que
Somamos de novo
à esquerda de cada lado:
Pela associatividade,
, e
. Logo