Mostre que lang<= Lxrang<==0 para Y1^-1(theta, phi).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra mostrar que o valor esperado de Lpm,Yell^m = hbar,raizell(ell+1)-m(mpm1);Yell^mpm1 no estado descrito pelo harmônico esférico é zero. Isso é mecânica quântica de momento angular, usando operadores escalares e, em especial, os operadores escaladares de passo (ladder) e . Para resolver, vamos precisar:
  • Saber que .
  • A ação dos operadores de passo em :
  • A ortonormalidade de harmônicos esféricos:

Passo 2

Vamos montar o valor esperado:
lang<= Lxrang<= = integral Y1^-1*,Lx,Y1^-1,dOmega = integral Y1^-1*,L++L-2,Y1^-1,dOmega
Então dividimos em duas partes:
I+ = integral Y1^-1*,L+,Y1^-1,dOmega, I- = integral Y1^-1*,L-,Y1^-1,dOmega
com

Passo 3

Usando a ação dos operadores de passo:
  • Para L+,Y1^-1 = hbarraiz1cdot2 -(-1)(0);Y1^0 = hbarraiz2;Y1^0 : I+ = hbarraiz2,integral Y1^-1*,Y1^0,dOmega = hbarraiz2;de
L-,Y1^-1 = hbarraiz1cdot2 -(-1)(-2);Y1^-2 = hbarraiz2-2;Y1^-2 = 0
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I- = integral Y1^-1*,0,dOmega = 0
  • Para :
Então

Resposta

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