Mostre que
para
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra mostrar que o valor esperado de
no estado descrito pelo harmônico esférico
é zero. Isso é mecânica quântica de momento angular, usando operadores escalares
e, em especial, os operadores escaladares de passo (ladder)
e
. Para resolver, vamos precisar:
- Saber que
. - A ação dos operadores de passo em
:
- A ortonormalidade de harmônicos esféricos:
Passo 2
Vamos montar o valor esperado:
Então dividimos em duas partes:
com
com
Passo 3
Usando a ação dos operadores de passo:
- Para
: dá
Logo
- Para
: dá
Então