Use a equação
Pell^|m|(x)=(1-x^2)^|m| / 2 d^|m|d x^|m| Pell(x)
para gerar as seguintes funções associadas de Legendre:
a) P1^0(x)
b) P1^1(x)
c) P2^1(x)
d) P3^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos gerar as funções associadas de Legendre
!
Conteúdo: estamos vendo polinômios de Legendre Pell^|m|(x) =l(1-x^2r)^|m|/2, d^|m|dx^|m|,Pell(x) e suas versões “associadas” .
O que precisamos:
  1. Saber os primeiros polinômios de Legendre .
  2. Aplicar a fórmula
  1. Fazer derivadas simples e multiplicar por .

Passo 2

Primeiro, recapitula os polinômios de Legendre “puros”:
&P0(x)=1, &P1(x)=x, &P2(x)=tfrac12(3x^2-1), &P3(x)=tfrac12(5x^3-3x)
Esses são obtidos por uma outra fórmula, mas aqui só vamos usar esses valores já prontos.

Passo 3

Fórmula geral para a parte associada:
Pell^m(x) =(1-x^2)^m/2,d^mdx^m,Pell(x),
onde . Então:
  1. Derivo exatamente vezes.
  2. Multiplico o resultado por .

Passo 4

a) Para P1^0(x) =(1-x^2)^0/2,d^0dx^0P1(x) =1cdot P1(x) =x e :
Derivar zero vezes é deixar como está, e .

Passo 5

b) Para P1^1(x) =(1-x^2)^1/2cdot1 =raiz1-x^2 e :
  1. Derivo uma vez:
  2. Multiplico por .

Passo 6

c) Para ddxl[tfrac12(3x^2-1)r] =tfrac12cdot6x =3x e P2^1(x) =(1-x^2)^1/2,3x =3xraiz1-x^2 :
  1. Derivo uma vez:
  1. Multiplico por :

Passo 7

d) Para P3^2(x) =(1-x^2),15x =15x,(1-x^2) e :
  1. Primeiro derivar duas vezes:
    • Primeira derivada:
    • Segunda derivada:
  2. Multiplico por :

Resposta

a)
b)
c)
d)

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