Use a equação
para gerar as seguintes funções associadas de Legendre:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos gerar as funções associadas de Legendre
!
Conteúdo: estamos vendo polinômios de Legendre e suas versões “associadas”
.
O que precisamos:
!
Conteúdo: estamos vendo polinômios de Legendre
O que precisamos:
- Saber os primeiros polinômios de Legendre
. - Aplicar a fórmula
- Fazer derivadas simples e multiplicar por
.
Passo 2
Primeiro, recapitula os polinômios de Legendre “puros”:
Esses são obtidos por uma outra fórmula, mas aqui só vamos usar esses valores já prontos.
Passo 3
Fórmula geral para a parte associada:
onde
. Então:
- Derivo
exatamente vezes. - Multiplico o resultado por
.
Passo 4
a) Para
e
:
Derivar zero vezes é deixar como está, e
.
Passo 5
b) Para
e
:
- Derivo
uma vez: - Multiplico por
.
Passo 6
c) Para
e
:
- Derivo
uma vez:
- Multiplico por
:
Passo 7
d) Para
e
:
- Primeiro derivar
duas vezes: - Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Primeira derivada:
- Multiplico por
:
Resposta
a)
b)
c)
d)
b)
c)
d)