(Questão 02)[2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equaçōes, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
b) x^{2}-y^{2}-z^{2}=-1
c) x^{2}-y^{2}+z^{2}=-1
d) x^{2}-y-z^{2}=0
( )
Esfera
◯ Hiperbolóide de 1 folha
( )
)Hiperbolóide de 2 folhas
( )P
)Parabolóide Hiperbólico

Passo 1

O enunciado dá quatro equações de 2.º grau em x,y,z identificadas por letras:
  • a)\; x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
  • b)\; x^{2}-y^{2}-z^{2}=-1
  • \text{©}; x{2}-y{2}+z^{2}=-1)
  • d)\; x^{2}-y-z^{2}=0
E pede que se associe cada equação a um dos seguintes tipos de quádrica (preencher com a letra correspondente):
  • Esfera
  • Hiperbolóide de 1 folha
  • Hiperbolóide de 2 folhas
  • Parabolóide Hiperbólico
Informações relevantes fornecidas:
  • As equações são todas de segundo grau (aparecem termos quadráticos em x,y,z).
  • Não há termos mistos xy,xz,yz nas primeiras três equações; na quarta a variável y aparece apenas de forma linear.
  • É preciso reconhecer a forma canônica de cada superfície a partir dos sinais e da presença/ausência de termos lineares.

Passo 2

Conceito e critério de classificação (explicado devagar e com exemplos):
  • Uma quádrica sem termos mistos e sem termos lineares gerais tem a forma
A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}=D,
onde os sinais de A,B,C e o sinal de D determinam o tipo de superfície.
  • Regras práticas (para formas sem termos mistos):
    • Se A=B=C>0 e D>0 temos uma esfera de raio \sqrt{D/A}.
    • Se dois coeficientes têm sinal igual e o terceiro tem sinal oposto e o lado direito é 1 (ou pode ser escalonado para 1), então:
      • dois sinais positivos e um negativo \Rightarrow hiperbolóide de uma folha (superfície conectada).
      • um sinal positivo e dois negativos \Rightarrow hiperbolóide de duas folhas (duas componentes desconexas).
    • Se há um termo linear isolado numa variável e os quadráticos das outras variáveis têm sinais opostos quando isolamos essa variável, isso é um parabolóide hiperbólico (sela), por exemplo y = x^{2}-z^{2}.
  • Ideia operacional: manipular cada equação (se necessário multiplicando por -1 ou isolando uma variável) para comparar com essas formas canônicas.

Passo 3

Análise da equação a: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
Explicação passo a passo:
  • Todos os coeficientes dos quadrados são iguais e positivos: coeficiente de x^{2} é 1, de y^{2} é 1, de z^{2} é 1.
  • O lado direito é 1>0.
  • Comparando com a forma canônica da esfera \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, conclui-se que é uma esfera de raio
R=\sqrt{1}=1.
Portanto a equação a representa uma esfera.

Passo 4

Análise da equação b: \;x^{2}-y^{2}-z^{2}=-1.
Passos claros:
  • Reescreve-se multiplicando por -1 para facilitar a leitura dos sinais:
-x^{2}+y^{2}+z^{2}=1.
  • Agora veja os sinais dos quadrados no lado esquerdo: os coeficientes são -1 para x^{2}, e +1 para y^{2} e z^{2}. Ou seja, há dois coeficientes positivos e um negativo (quando a equação está na forma “algo = 1”).
  • Esse padrão (duas variáveis com coeficiente positivo e uma com coeficiente negativo) corresponde à forma canônica do hiperbolóide de uma folha, por exemplo \frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1.
  • Um argumento geométrico simples para ver que é uma folha só: aplicando seção com x=0 obtemos
-y^{2}-z^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}+z^{2}=1,
ou seja, a seção x=0 é um círculo real. Isso indica que há pontos reais próximos ao plano x=0 e que a superfície é conectada (uma folha só).
Portanto b é um hiperbolóide de 1 folha.

Passo 5

Análise da equação c: \;x^{2}-y^{2}+z^{2}=-1.
Passos claros:
  • Multiplicando por -1 para comparar com a forma “=1”:
-x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.
  • Agora os coeficientes dos quadrados são -1 para x^{2}, +1 para y^{2} e -1 para z^{2}. Ou seja, há um coeficiente positivo e dois negativos na forma “algo = 1”.
  • Esse padrão (um positivo e dois negativos) corresponde à forma canônica do hiperbolóide de duas folhas, por exemplo \frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
  • Um teste rápido: faça a seção x=0 e z=0:
-y^{2}=-1 \quad\Rightarrow\quad y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y=\pm1.
Isso mostra que não existem pontos com |y|<1 (nenhuma seção na faixa entre as duas folhas), portanto a superfície é formada por duas componentes separadas (duas “folhas”).
Portanto c é um hiperbolóide de 2 folhas.

Passo 6

Análise da equação d: \;x^{2}-y-z^{2}=0.
Passos claros:
  • Isolando y obtemos
y = x^{2}-z^{2}.
  • Essa é uma forma típica de parabolóide hiperbólico (também chamado de sela): y varia quadraticamente com x e z, mas com sinais opostos nos quadrados ( +x^{2} e -z^{2}). A curvatura é positiva numa direção e negativa na outra, característica de uma sela.
  • Visualização simples: ao fixar z=0 temos a seção y=x^{2} (uma parábola aberta para cima). Ao fixar x=0 temos y=-z^{2} (uma parábola aberta para baixo). Essas seções contraditórias (uma abre para cima e outra para baixo) são exatamente a marca do parabolóide hiperbólico.
    Portanto d é um parabolóide hiperbólico.

Resposta

Esfera: a
Hiperbolóide de 1 folha: b
Hiperbolóide de 2 folhas: c
Parabolóide Hiperbólico: d

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