(Questão 02)[2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equaçōes, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a)
b)
c)
d)
( )
Esfera
◯ Hiperbolóide de 1 folha
( )
)Hiperbolóide de 2 folhas
( )P
)Parabolóide Hiperbólico
a)
b)
c)
d)
( )
Esfera
◯ Hiperbolóide de 1 folha
( )
)Hiperbolóide de 2 folhas
( )P
)Parabolóide Hiperbólico
Passo 1
O enunciado dá quatro equações de 2.º grau em
identificadas por letras:
-
-
- \text{©}; x{2}-y{2}+z^{2}=-1)
-
E pede que se associe cada equação a um dos seguintes tipos de quádrica (preencher com a letra correspondente):
- Esfera
- Hiperbolóide de 1 folha
- Hiperbolóide de 2 folhas
- Parabolóide Hiperbólico
Informações relevantes fornecidas:
- As equações são todas de segundo grau (aparecem termos quadráticos em
). - Não há termos mistos
nas primeiras três equações; na quarta a variável aparece apenas de forma linear. - É preciso reconhecer a forma canônica de cada superfície a partir dos sinais e da presença/ausência de termos lineares.
Passo 2
Conceito e critério de classificação (explicado devagar e com exemplos):
- Uma quádrica sem termos mistos e sem termos lineares gerais tem a forma
onde os sinais de
e o sinal de
determinam o tipo de superfície.
- Regras práticas (para formas sem termos mistos):
- Se
e temos uma esfera de raio . - Se dois coeficientes têm sinal igual e o terceiro tem sinal oposto e o lado direito é
(ou pode ser escalonado para ), então: - dois sinais positivos e um negativo
hiperbolóide de uma folha (superfície conectada). - um sinal positivo e dois negativos
hiperbolóide de duas folhas (duas componentes desconexas).
- dois sinais positivos e um negativo
- Se há um termo linear isolado numa variável e os quadráticos das outras variáveis têm sinais opostos quando isolamos essa variável, isso é um parabolóide hiperbólico (sela), por exemplo
.
- Se
- Ideia operacional: manipular cada equação (se necessário multiplicando por
ou isolando uma variável) para comparar com essas formas canônicas.
Passo 3
Análise da equação
:
.
Explicação passo a passo:
- Todos os coeficientes dos quadrados são iguais e positivos: coeficiente de
é , de é , de é . - O lado direito é
. - Comparando com a forma canônica da esfera
, conclui-se que é uma esfera de raio
Portanto a equação
representa uma esfera.
Passo 4
Análise da equação
:
.
Passos claros:
- Reescreve-se multiplicando por
para facilitar a leitura dos sinais:
- Agora veja os sinais dos quadrados no lado esquerdo: os coeficientes são
para , e para e . Ou seja, há dois coeficientes positivos e um negativo (quando a equação está na forma “algo = 1”). - Esse padrão (duas variáveis com coeficiente positivo e uma com coeficiente negativo) corresponde à forma canônica do hiperbolóide de uma folha, por exemplo
. - Um argumento geométrico simples para ver que é uma folha só: aplicando seção com
obtemos
ou seja, a seção
é um círculo real. Isso indica que há pontos reais próximos ao plano
e que a superfície é conectada (uma folha só).
Portanto é um hiperbolóide de 1 folha.
Portanto
Passo 5
Análise da equação
:
.
Passos claros:
- Multiplicando por
para comparar com a forma “=1”:
- Agora os coeficientes dos quadrados são
para , para e para . Ou seja, há um coeficiente positivo e dois negativos na forma “algo 1”. - Esse padrão (um positivo e dois negativos) corresponde à forma canônica do hiperbolóide de duas folhas, por exemplo
. - Um teste rápido: faça a seção
e :
Isso mostra que não existem pontos com
(nenhuma seção na faixa entre as duas folhas), portanto a superfície é formada por duas componentes separadas (duas “folhas”).
Portanto é um hiperbolóide de 2 folhas.
Portanto
Passo 6
Análise da equação
:
.
Passos claros:
- Isolando
obtemos
- Essa é uma forma típica de parabolóide hiperbólico (também chamado de sela):
varia quadraticamente com e , mas com sinais opostos nos quadrados ( e ). A curvatura é positiva numa direção e negativa na outra, característica de uma sela. - Visualização simples: ao fixar
temos a seção (uma parábola aberta para cima). Ao fixar temos (uma parábola aberta para baixo). Essas seções contraditórias (uma abre para cima e outra para baixo) são exatamente a marca do parabolóide hiperbólico.
Portantoé um parabolóide hiperbólico.
Resposta
Esfera: a
Hiperbolóide de 1 folha: b
Hiperbolóide de 2 folhas: c
Parabolóide Hiperbólico: d