Dada a função: f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1-4 x-2 x^{2}}{x+2} \text {, se } x \leq 1 \\\ \operatorname{arctg}(\ln x) \text {, se } x>1\end{array}\right. avalie os limites:
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vou usar:
Para x muito grande e positivo (ou seja x\to\infty) vale a parte com \operatorname{arctg}(\ln x), porque para esses x temos x>1.
Para x muito negativo (isto é x\to -\infty) vale a parte racional \dfrac{1-4x-2x^{2}}{x+2}, porque esses x satisfazem x\le 1.
No ponto x=-2 o denominador da parte racional é zero, então a vizinhança desse ponto merece atenção (limites laterais).]
Passo 2
Cálculo de \lim_{x\to\infty} f(x): primeiro identifico qual ramo da função vale quando x\to\infty. Para x\to\infty temos x>1, então
f(x)=\operatorname{arctg}(\ln x).
Agora explico os conceitos que vou usar: a função \ln x (logarítmo natural) tem comportamento quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty} \ln x = +\infty.
A função \operatorname{arctg}(t) (arco-tangente, inversa da tangente restrita) é uma função que tende a limites horizontais quando sua entrada vai para \pm\infty. Mais precisamente:
Essa propriedade pode ser lembrada porque \operatorname{tg} tem assíntotas verticais em \pm\frac{\pi}{2}; então a inversa se aproxima desses valores quando o argumento cresce em módulo.
Passo 3
Aplicando essas duas observações de forma encadeada: quando x\to\infty temos \ln x\to +\infty, e então
Quando avaliamos o comportamento para x muito grande em módulo, é útil comparar os graus do polinômio no numerador e no denominador. Aqui o numerador é um polinômio de grau 2 (o termo dominante é -2x^{2}) e o denominador é de grau 1 (termo dominante x). Para ver o comportamento de uma fração polinomial ao infinito, podemos dividir polinômios (ou perceber que a razão se comporta como termo dominante do numerador sobre termo dominante do denominador).
Passo 5
Faço a divisão polinomial de forma explícita (long division) para ficar limpinho e sem truques de mágica. Reescrevendo o numerador em ordem decrescente:
1-4x-2x^{2} = -2x^{2}-4x+1.
Dividindo -2x^{2}-4x+1 por x+2:
Primeiro termo do quociente: -2x, pois (-2x)\cdot x = -2x^{2}.
Multiplico (-2x)\cdot (x+2) = -2x^{2}-4x.
Subtraio: (-2x^{2}-4x+1)-(-2x^{2}-4x)=1. Portanto o resto é 1 e a divisão terminou.
Assim obtemos a identidade (válida para x\neq -2):
\frac{1-4x-2x^{2}}{x+2} = -2x + \frac{1}{x+2}.
Passo 6
Agora avalio o comportamento de cada parcela quando x\to -\infty:
\displaystyle -2x \to +\infty porque x é muito negativo e multiplicar por -2 dá um número muito positivo.
\displaystyle \frac{1}{x+2}\to 0 porque denominador vai para -\infty.
Cálculo de \lim_{x\to -2} f(x): novamente uso a forma simplificada válida para x\neq -2,
f(x)= -2x + \frac{1}{x+2}.
Aqui o ponto x=-2 é especial porque o segundo termo \dfrac{1}{x+2} tem denominador zero em x=-2. Isso normalmente causa uma assíntota vertical; para concluir se existe limite precisamos olhar os limites laterais (pela esquerda e pela direita).
Passo 8
Limite pela direita x\to -2^{+}: quando x se aproxima de -2 por valores maiores que -2 (por exemplo -1{,}9), o termo x+2 é um número positivo muito pequeno, então
\frac{1}{x+2}\to +\infty.
O outro termo -2x ao se aproximar de -2 tende a -2\cdot(-2)=4, que é finito. Assim
\lim_{x\to -2^{+}} f(x)=4 + (+\infty)=+\infty.
Passo 9
Limite pela esquerda x\to -2^{-}: quando x se aproxima de -2 por valores menores que -2 (por exemplo -2{,}1), o termo x+2 é um número negativo muito pequeno, então
\frac{1}{x+2}\to -\infty.
E novamente -2x\to 4. Assim
\lim_{x\to -2^{-}} f(x)=4 + (-\infty)=-\infty.
Passo 10
Como os limites laterais não coincidem (temos \lim_{x\to -2^{-}} f(x)=-\infty e \lim_{x\to -2^{+}} f(x)=+\infty), o limite bilateral \lim_{x\to -2} f(x) não existe. Em linguagem curta: há uma assíntota vertical em x=-2 com sinais opostos dos dois lados.