Mostre que f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { se } x=0 \\\ \frac{1}{x}, & \text { se } 0<x \leq 1\end{array}\right. não é integrável.
Dica: Se P é uma partição e ( c_{i} ) são os pontos escolhidos para calcular a soma de Riemann S\left(f, P,\left(c_{i}\right)\right), observe que, deixando os pontos c_{2}, \ldots, c_{n} fixos, vale:
\lim _{c_{1} \rightarrow 0^{+}} S\left(f, P,\left(c_{i}\right)\right)=\lim _{c_{1} \rightarrow 0^{+}} \sum_{i=1}^{n} f\left(c_{i}\right) \Delta x_{i}=+\infty

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} 1, & \text{se }x=0,\\\ \dfrac1x, & \text{se }0<x\le1, \end{cases}
e pede para mostrar que f não é integrável em [0,1]. Vamos usar a definição de integrabilidade de Riemann que exige que todas as somas de Riemann \displaystyle S\bigl(f,P,(c_i)\bigr) tendam a um mesmo número finito quando o diâmetro da partição P tende a zero.

Passo 2

Lembremos da definição: f é integrável se existir um I\in\mathbb{R} tal que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 de modo que, para toda partição P com \|P\|<\delta e quaisquer escolhas de pontos c_i\in[x_{i-1},x_i], valha
\Bigl|S\bigl(f,P,(c_i)\bigr)-I\Bigr|<\varepsilon.
Mostraremos que as somas de Riemann podem ser feitas arbitrariamente grandes, impedindo qualquer limite finito I.

Passo 3

Considere uma partição arbitrária
P:\;0=x_0<x_1<\cdots<x_n=1,
e escolha pontos c_i\in[x_{i-1},x_i]. Escreva
S\bigl(f,P,(c_i)\bigr) =\sum_{i=1}^n f(c_i)\,\Delta x_i =f(c_1)\,\Delta x_1+\sum_{i=2}^n f(c_i)\,\Delta x_i.
Como f é contínua e limitada em cada intervalo [x_{i-1},x_i] com i\ge2, o segundo soma
K\;=\;\sum_{i=2}^n f(c_i)\,\Delta x_i
é um número finito que não depende de c_1.

Passo 4

No primeiro subintervalo [0,x_1], temos \Delta x_1=x_1 e f(c_1)=1/c_1 sempre que c_1>0. Logo
S\bigl(f,P,(c_i)\bigr) =\frac{\Delta x_1}{c_1}+K =\frac{x_1}{c_1}+K.
Como c_1 pode ser escolhido arbitrariamente próximo de 0^+ (a definição de soma de Riemann só exige c_1\in[0,x_1]), temos
\lim_{c_1\to0^+}S\bigl(f,P,(c_i)\bigr) =\lim_{c_1\to0^+}\Bigl(\frac{x_1}{c_1}+K\Bigr) =+\infty.

Passo 5

Isso significa que, para qualquer partição P e qualquer número real I, posso escolher c_1 tão pequeno que
S\bigl(f,P,(c_i)\bigr)>I+1,
por exemplo. Não existe, portanto, um valor finito I para o qual todas as somas de Riemann fiquem próximas de I. Logo, f não é integrável em [0,1].

Resposta

A função f não é integrável em [0,1].

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