Mostre que f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { se } x=0 \\\ \frac{1}{x}, & \text { se } 0<x \leq 1\end{array}\right. não é integrável.
Dica: Se P é uma partição e ( c_{i} ) são os pontos escolhidos para calcular a soma de Riemann S\left(f, P,\left(c_{i}\right)\right), observe que, deixando os pontos c_{2}, \ldots, c_{n} fixos, vale:
e pede para mostrar que f não é integrável em [0,1]. Vamos usar a definição de integrabilidade de Riemann que exige que todas as somas de Riemann \displaystyle S\bigl(f,P,(c_i)\bigr) tendam a um mesmo número finito quando o diâmetro da partição P tende a zero.
Passo 2
Lembremos da definição: f é integrável se existir um I\in\mathbb{R} tal que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 de modo que, para toda partição P com \|P\|<\delta e quaisquer escolhas de pontos c_i\in[x_{i-1},x_i], valha
\Bigl|S\bigl(f,P,(c_i)\bigr)-I\Bigr|<\varepsilon.
Mostraremos que as somas de Riemann podem ser feitas arbitrariamente grandes, impedindo qualquer limite finito I.