Recorde que vimos a seguinte propriedade: se
é integrável e
para todo
, então
.
Mostre que a recíproca da implicação acima é falsa mostrando um contraexemplo.
Mostre que a recíproca da implicação acima é falsa mostrando um contraexemplo.
Passo 1
O enunciado afirma que, se
é integrável em
e
para todo
, então
A recíproca seria: “se
então
em
”. Vamos mostrar que isso é falso, dando um contraexemplo de
que tem integral positiva mas assume valor negativo em pelo menos um ponto.
Passo 2
Defina a função
Como a alteração de valor em um único ponto não afeta a integral de Riemann nem a integrabilidade (conjunto de medida zero),
é integrável em
e tem a mesma integral da função constante
.
Passo 3
Calculemos a integral de
. Ignorando o ponto
, em todo o intervalo
temos
, de modo que
Logo
.
Passo 4
Observação final: apesar de
, existe
tal que
. Portanto
não satisfaz
para todo
, mas ainda assim tem integral não negativa. Isso mostra que a recíproca da implicação dada é falsa.
Resposta
O contraexemplo é a função
para a qual
mas
.