Recorde que vimos a seguinte propriedade: se f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} é integrável e f(x) \geq 0 para todo x \in[a, b], então \int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0.
Mostre que a recíproca da implicação acima é falsa mostrando um contraexemplo.

Passo 1

O enunciado afirma que, se f é integrável em [a,b] e f(x)\ge0 para todo x\in[a,b], então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx \ge 0.
A recíproca seria: “se \int_{a}^{b}f(x)\,dx \ge 0 então f(x)\ge0 em [a,b]”. Vamos mostrar que isso é falso, dando um contraexemplo de f que tem integral positiva mas assume valor negativo em pelo menos um ponto.

Passo 2

Defina a função
f\colon[0,1]\to\mathbb{R},\qquad f(x)= \begin{cases} -1, & x=0,\\\ \phantom{-}1, & x\in(0,1]. \end{cases}
Como a alteração de valor em um único ponto não afeta a integral de Riemann nem a integrabilidade (conjunto de medida zero), f é integrável em [0,1] e tem a mesma integral da função constante 1.

Passo 3

Calculemos a integral de f. Ignorando o ponto x=0, em todo o intervalo (0,1] temos f(x)=1, de modo que
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}1\,dx =1.
Logo \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\,dx=1\ge0.

Passo 4

Observação final: apesar de \int_{0}^{1}f(x)\,dx=1\ge0, existe x=0 tal que f(0)=-1<0. Portanto f não satisfaz f(x)\ge0 para todo x, mas ainda assim tem integral não negativa. Isso mostra que a recíproca da implicação dada é falsa.

Resposta

O contraexemplo é a função
f(x)= \begin{cases} -1, & x=0,\\\ \phantom{-}1, & x\in(0,1], \end{cases}
para a qual \int_{0}^{1}f(x)\,dx=1\ge0 mas f(0)=-1<0.

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