Recorde que vimos a seguinte propriedade: se f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} é integrável e f(x) \geq 0 para todo x \in[a, b], então \int_{a}^{b} f(x) d x \geq 0.
Dê um exemplo de uma função f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} tal que f(x) \geq 0 para todo x \in[a, b] e que f(x)>0 para algum x, de modo que mas \int_{a}^{b} f(x) d x=0

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f:[a,b]\to\mathbb{R} que seja integrável, satisfazendo f(x)\ge0 para todo x\in[a,b], tenha f(x)>0 em pelo menos um ponto e, ainda assim,
\int_a^b f(x)\,dx = 0.
Para isso vamos usar a ideia de uma função que é zero “quase em todo lugar” e positiva apenas num ponto isolado.

Passo 2

Escolhemos o intervalo [a,b]=[0,1]\) e o ponto \(c=\tfrac12\). Definimos a função \[f(x)= \begin{cases} 1, &\text{se }x=c,\\\\ 0, &\text{se }x\neq c. \end{cases}
Então f(x)\ge0\] para todo \(x\in[0,1] e f\text{(c)}=1>0.

Passo 3

Para ver que f é Riemann–integrável, notamos que ela é contínua em todo ponto de [0,1] exceto em x=c. Como o conjunto de pontos de descontinuidade \{c\} tem medida zero, pelo critério de Riemann para integrabilidade concluímos que f é integrável em [0,1].

Passo 4

Agora calculamos a integral:
  • Em qualquer partição de [0,1], em todos os subintervalos que não contêm c a função atinge sempre o valor 0.
  • No subintervalo que contém c, o supremo de f é 1 e o ínfimo é 0, mas a largura desse subintervalo pode ser feita tão pequena quanto quisermos ao refinarmos a partição.
Logo a soma inferior vale sempre
L(f,P)=0,
e a soma superior satisfaz
U(f,P)\le 1\cdot(\text{largura do subintervalo com }c)\to0 \quad\text{quando refinamos.}
Portanto
\int_0^1 f(x)\,dx=0.

Resposta

Um exemplo é
f:[0,1]\to\mathbb{R},\quad f(x)= \begin{cases} 1, & x=\tfrac12,\\\\ 0, & x\neq\tfrac12. \end{cases}
Então f(x)\ge0, f(\tfrac12)=1>0 e \displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=0.

Exercícios relacionados