Mostre que V=M(2,2)=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\} é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que V=M(2,2)=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\} é um espaço vetorial.
Informações dadas:
  • Os elementos de V são todas as matrizes 2\times2 com entradas reais.
  • Não foi dada nenhuma outra operação explicitamente, então assumimos as operações usuais de matrizes:
    • adição de matrizes definida entrada a entrada;
    • multiplicação por escalar real definida entrada a entrada.
As perguntas a responder são:
  • Verificar que V, com essas operações, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.

Passo 2

Definição das operações (mostrando explicitamente o que vamos usar). Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}a' & b' \\\ c' & d'\end{pmatrix}, \qquad \alpha\in\mathbb{R}.
Definimos:
A+B=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\\ c+c' & d+d'\end{pmatrix}, \qquad \alpha A=\begin{pmatrix}\alpha a & \alpha b \\\ \alpha c & \alpha d\end{pmatrix}.
Explicação didática: a adição soma cada entrada correspondente; multiplicar por escalar multiplica cada entrada pelo número real. Essas são as operações padrão em matrizes e deixam as entradas em \mathbb{R}, portanto fazem sentido em V.

Passo 3

Fechamento da adição e da multiplicação por escalar (axioma de fechamento).
Tomando A,B\in V como acima, as entradas de A+B são a+a', b+b', c+c', d+d'. Como soma de reais é real, todas as entradas estão em \mathbb{R}. Logo A+B\in V.
Tomando \alpha\in\mathbb{R}, as entradas de \alpha A são \alpha a,\alpha b,\alpha c,\alpha d, que são reais. Logo \alpha A\in V.
Isso mostra o fechamento das operações em V.

Passo 4

Comutatividade da adição.
Precisamos mostrar que A+B=B+A. Em termos de entradas:
A+B=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\\ c+c' & d+d'\end{pmatrix}, \qquad B+A=\begin{pmatrix}a'+a & b'+b \\\ c'+c & d'+d\end{pmatrix}.
Como a soma de números reais é comutativa ( x+y=y+x para todos x,y\in\mathbb{R}), tem-se a+a'=a'+a etc. Portanto as matrizes são iguais e A+B=B+A.

Passo 5

Associatividade da adição.
Queremos (A+B)+C = A+(B+C) para qualquer C=\begin{pmatrix}a''&b''\c''&d''\end{pmatrix}\in V. Calculando as entradas:
(A+B)+C=\begin{pmatrix}(a+a')+a'' & (b+b')+b'' \\\ (c+c')+c'' & (d+d')+d''\end{pmatrix},
A+(B+C)=\begin{pmatrix}a+(a'+a'') & b+(b'+b'') \\\ c+(c'+c'') & d+(d'+d'')\end{pmatrix}.
Como a soma em \mathbb{R} é associativa, (a+a')+a''=a+(a'+a''), e assim por diante para todas as entradas. Logo (A+B)+C=A+(B+C).

Passo 6

Existência do elemento neutro aditivo (zero).
Defina a matriz zero
O=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in V.
Para qualquer A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in V,
A+O=\begin{pmatrix}a+0 & b+0 \\\ c+0 & d+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=A.
Portanto O é o elemento neutro aditivo. (Observação didática: o 0 aqui é o número real zero nas entradas.)

Passo 7

Existência do inverso aditivo para cada vetor.
Para qualquer A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}\in V, considere
- A = \begin{pmatrix}-a & -b \\\\ -c & -d\end{pmatrix}.
Então
A+(-A)=\begin{pmatrix}a+(-a) & b+(-b) \\\ c+(-c) & d+(-d)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}=O.
Como a soma inversa existe para cada entrada real, todo A tem inverso aditivo em V.

Passo 8

Compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade escalar).
Precisamos mostrar que para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e A\in V,
(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A).
As entradas de (\alpha\beta)A são (\alpha\beta)a,(\alpha\beta)b,(\alpha\beta)c,(\alpha\beta)d. As entradas de \alpha(\beta A) são \alpha(\beta a),\alpha(\beta b),\dots. Como a multiplicação em \mathbb{R} é associativa, (\alpha\beta)a=\alpha(\beta a) para cada entrada, daí as matrizes coincidem.

Passo 9

Distributividade do escalar sobre a soma de vetores.
Mostrar que \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B. Calculando:
\alpha(A+B)=\alpha\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\\ c+c' & d+d'\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\alpha(a+a') & \alpha(b+b') \\\ \alpha(c+c') & \alpha(d+d')\end{pmatrix}.
Pelo distributivo em \mathbb{R}, \alpha(a+a')=\alpha a+\alpha a', etc. Então
\alpha(A+B)=\begin{pmatrix}\alpha a+\alpha a' & \alpha b+\alpha b' \\\ \alpha c+\alpha c' & \alpha d+\alpha d'\end{pmatrix} =\alpha A+\alpha B.

Passo 10

Distributividade da soma de escalares sobre o vetor.
Mostrar que (\alpha+\beta)A=\alpha A + \beta A. Calculando:
(\alpha+\beta)A=\begin{pmatrix}(\alpha+\beta)a & (\alpha+\beta)b \\\ (\alpha+\beta)c & (\alpha+\beta)d\end{pmatrix}.
Pelo distributivo em \mathbb{R}, (\alpha+\beta)a=\alpha a+\beta a etc., então
(\alpha+\beta)A=\begin{pmatrix}\alpha a+\beta a & \alpha b+\beta b \\\ \alpha c+\beta c & \alpha d+\beta d\end{pmatrix} =\alpha A+\beta A.

Passo 11

Elemento escalar neutro: 1\cdot A = A.
Para 1\in\mathbb{R} e A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix},
1\cdot A=\begin{pmatrix}1\cdot a & 1\cdot b \\\\ 1\cdot c & 1\cdot d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=A,
pois 1 é elemento neutro da multiplicação em \mathbb{R}.

Passo 12

Ilustração concreta (exemplo) — ajuda didática.
Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}5 & -1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad \alpha=3.
Então
A+B=\begin{pmatrix}6 & 1 \\\\ 3 & 6\end{pmatrix}, \qquad \alpha A=\begin{pmatrix}3 & 6 \\\\ 9 & 12\end{pmatrix}.
Esse exemplo mostra concretamente as operações usadas em todos os passos anteriores.

Passo 13

Conclusão final: verificamos todos os axiomas requeridos para um espaço vetorial sobre \mathbb{R}:
  • fechamento, comutatividade e associatividade da adição;
  • existência do elemento neutro e inversos aditivos;
  • compatibilidade e propriedades distributivas da multiplicação por escalares;
  • existência do escalar neutro 1.
    Portanto V=M(2,2) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

Resposta

V=M(2,2) é um espaço vetorial sobre \mathbb{R}.

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