Mostre que V=M(2,2)=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\} é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que V=M(2,2)=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right]: a, b, c, d \in \mathbb{R}\right\} é um espaço vetorial.
Informações dadas:
Os elementos de V são todas as matrizes 2\times2 com entradas reais.
Não foi dada nenhuma outra operação explicitamente, então assumimos as operações usuais de matrizes:
adição de matrizes definida entrada a entrada;
multiplicação por escalar real definida entrada a entrada.
As perguntas a responder são:
Verificar que V, com essas operações, satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo \mathbb{R}.
Passo 2
Definição das operações (mostrando explicitamente o que vamos usar). Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}a' & b' \\\ c' & d'\end{pmatrix}, \qquad \alpha\in\mathbb{R}.
Definimos:
A+B=\begin{pmatrix}a+a' & b+b' \\\ c+c' & d+d'\end{pmatrix}, \qquad \alpha A=\begin{pmatrix}\alpha a & \alpha b \\\ \alpha c & \alpha d\end{pmatrix}.
Explicação didática: a adição soma cada entrada correspondente; multiplicar por escalar multiplica cada entrada pelo número real. Essas são as operações padrão em matrizes e deixam as entradas em \mathbb{R}, portanto fazem sentido em V.
Passo 3
Fechamento da adição e da multiplicação por escalar (axioma de fechamento).
Tomando A,B\in V como acima, as entradas de A+B são a+a', b+b', c+c', d+d'. Como soma de reais é real, todas as entradas estão em \mathbb{R}. Logo A+B\in V.
Tomando \alpha\in\mathbb{R}, as entradas de \alpha A são \alpha a,\alpha b,\alpha c,\alpha d, que são reais. Logo \alpha A\in V.
Isso mostra o fechamento das operações em V.
Passo 4
Comutatividade da adição.
Precisamos mostrar que A+B=B+A. Em termos de entradas:
Como a soma inversa existe para cada entrada real, todo A tem inverso aditivo em V.
Passo 8
Compatibilidade da multiplicação por escalares (associatividade escalar).
Precisamos mostrar que para \alpha,\beta\in\mathbb{R} e A\in V,
(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A).
As entradas de (\alpha\beta)A são (\alpha\beta)a,(\alpha\beta)b,(\alpha\beta)c,(\alpha\beta)d. As entradas de \alpha(\beta A) são \alpha(\beta a),\alpha(\beta b),\dots. Como a multiplicação em \mathbb{R} é associativa, (\alpha\beta)a=\alpha(\beta a) para cada entrada, daí as matrizes coincidem.
Passo 9
Distributividade do escalar sobre a soma de vetores.
Mostrar que \alpha(A+B)=\alpha A + \alpha B. Calculando: