Sendo \vec{u} \neq \overrightarrow{0}, \vec{v} \neq \overrightarrow{0}, \vec{w}=\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|} \vec{u}+\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|} \vec{v}, prove que \vec{w} forma ângulos congruentes com \vec{u} e com \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores não nulos \vec{u} e \vec{v} e define
\vec{w}=\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\vec{u} \;+\;\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\vec{v}.
Queremos mostrar que o ângulo entre \vec{w} e \vec{u} é igual ao ângulo entre \vec{w} e \vec{v}. Para isso, vamos usar a definição do cosseno do ângulo entre dois vetores via produto escalar:
\cos(\vec{a},\vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\;\|\vec{b}\|}.

Passo 2

Calculemos os produtos escalares \vec{w}\cdot\vec{u} e \vec{w}\cdot\vec{v}. Como
\vec{w}=\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\vec{u} + \frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\vec{v},
temos
\vec{w}\cdot\vec{u} =\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\|\vec{u}\|^2 +\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,(\vec{v}\cdot\vec{u}),
\vec{w}\cdot\vec{v} =\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) +\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\|\vec{v}\|^2.

Passo 3

Agora escrevemos o cosseno dos ângulos e simplificamos:
\cos(\vec{w},\vec{u}) =\frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{\|\vec{w}\|\;\|\vec{u}\|} =\frac{\displaystyle \frac{\|\vec{v}\|\,\|\vec{u}\|^2+\|\vec{u}\|\,(\vec{u}\cdot\vec{v})}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}} {\|\vec{w}\|\;\|\vec{u}\|} =\frac{\|\vec{v}\|\,\|\vec{u}\|+(\vec{u}\cdot\vec{v})} {(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|)\,\|\vec{w}\|},
\cos(\vec{w},\vec{v}) =\frac{\vec{w}\cdot\vec{v}}{\|\vec{w}\|\;\|\vec{v}\|} =\frac{\displaystyle \frac{\|\vec{v}\|\,(\vec{u}\cdot\vec{v})+\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|^2}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}} {\|\vec{w}\|\;\|\vec{v}\|} =\frac{(\vec{u}\cdot\vec{v})+\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} {(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|)\,\|\vec{w}\|}.

Passo 4

Como os numeradores e denominadores das duas expressões são idênticos, concluímos
\cos(\vec{w},\vec{u})=\cos(\vec{w},\vec{v}).
Logo, os ângulos \angle(\vec{w},\vec{u}) e \angle(\vec{w},\vec{v}) são congruentes, isto é, iguais.

Resposta

O vetor \vec{w} forma o mesmo ângulo com \vec{u} e com \vec{v}, pois \cos(\vec{w},\vec{u})=\cos(\vec{w},\vec{v}).

Exercícios relacionados