Sendo
, prove que
forma ângulos congruentes com
e com
.
Passo 1
O enunciado define vetores não nulos
e
e constrói
Queremos mostrar que o ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
.
O conteúdo usado será definição de produto escalar, norma de vetor e a relação
O conteúdo usado será definição de produto escalar, norma de vetor e a relação
Passo 2
Calculemos
. Usando linearidade do produto escalar,
Como
, isso dá
Passo 3
De modo análogo, calculemos
:
e como
e
,
Passo 4
Para comparar os cossenos dos ângulos, é suficiente ver que
, pois então
só diferem, no numerador, pelo mesmo valor em ambos os casos.
Passo 5
Calculemos cada razão:
e
Como os numeradores são idênticos, concluímos
Passo 6
Então
Logo
: os ângulos formados por
com
e com
são congruentes.
Resposta
Os ângulos entre
e
e entre
e
são iguais, pois seus cossenos coincidem.