Sendo \vec{u} \neq \overrightarrow{0}, \vec{v} \neq \overrightarrow{0}, \vec{w}=\frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|} \vec{u}+\frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|} \vec{v}, prove que \vec{w} forma ângulos congruentes com \vec{u} e com \vec{v}.

Passo 1

O enunciado define vetores não nulos \vec{u} e \vec{v} e constrói
\vec{w} = \frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\vec{u} + \frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,\vec{v}.
Queremos mostrar que o ângulo entre \vec{w} e \vec{u} é igual ao ângulo entre \vec{w} e \vec{v}.
O conteúdo usado será definição de produto escalar, norma de vetor e a relação
\cos\theta_{xy} = \frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{x}\|\;\|\vec{y}\|}.

Passo 2

Calculemos \vec{u}\cdot\vec{w}. Usando linearidade do produto escalar,
\vec{u}\cdot\vec{w} = \frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,(\vec{u}\cdot\vec{u}) + \frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,(\vec{u}\cdot\vec{v}).
Como \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2, isso dá
\vec{u}\cdot\vec{w} = \frac{\|\vec{v}\|\,\|\vec{u}\|^2 +\|\vec{u}\|\,(\vec{u}\cdot\vec{v})} {\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}.

Passo 3

De modo análogo, calculemos \vec{v}\cdot\vec{w}:
\vec{v}\cdot\vec{w} = \frac{\|\vec{v}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,(\vec{v}\cdot\vec{u}) + \frac{\|\vec{u}\|}{\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}\,(\vec{v}\cdot\vec{v})
e como \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2 e \vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v},
\vec{v}\cdot\vec{w} = \frac{\|\vec{v}\|\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) +\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|^2} {\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}.

Passo 4

Para comparar os cossenos dos ângulos, é suficiente ver que
\displaystyle\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\|\vec{u}\|}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|}, pois então
\cos\theta_{u,w} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{w}\|} \quad\text{e}\quad \cos\theta_{v,w} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|}
só diferem, no numerador, pelo mesmo valor em ambos os casos.

Passo 5

Calculemos cada razão:
\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\|\vec{u}\|} = \frac{\|\vec{v}\|\,\|\vec{u}\|^2 +\|\vec{u}\|\,(\vec{u}\cdot\vec{v})} {\|\vec{u}\|\;(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|)} = \frac{\|\vec{v}\|\,\|\vec{u}\|+\vec{u}\cdot\vec{v}} {\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}
e
\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|} = \frac{\|\vec{v}\|\,(\vec{u}\cdot\vec{v}) +\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|^2} {\|\vec{v}\|\;(\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|)} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} {\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|}.
Como os numeradores são idênticos, concluímos
\frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\|\vec{u}\|} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|}.

Passo 6

Então
\cos\theta_{u,w} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{w}\|} = \frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|\,\|\vec{w}\|} = \cos\theta_{v,w}.
Logo \theta_{u,w}=\theta_{v,w}: os ângulos formados por \vec{w} com \vec{u} e com \vec{v} são congruentes.

Resposta

Os ângulos entre \vec{w} e \vec{u} e entre \vec{w} e \vec{v} são iguais, pois seus cossenos coincidem.

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