Mostre que
é uma base de
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: mostrar que
é uma base de . - Informação implícita (presunção usual):
é o espaço vetorial dos polinômios com coeficientes reais e grau no máximo . Ou seja, elementos de têm a forma com . - Objetivo concreto: provar que o conjunto
satisfaz as duas propriedades necessárias para ser uma base: (i) é linearmente independente; (ii) gera (ou seja, faz o span de) todo .
Passo 2
Definições essenciais (explicadas com calma):
- Uma família de vetores forma uma base de um espaço vetorial quando (A) é linearmente independente e (B) gera todo o espaço.
- Linearmente independente significa: se uma combinação linear
(o vetor nulo) tem como única solução, então os vetores são linearmente independentes. Aqui o “vetor nulo” em é o polinômio zero, isto é, o polinômio que é zero para todo . - Gerar (ou span) significa: qualquer vetor do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto. No nosso caso, qualquer polinômio
deve poder ser escrito como combinação de .
Passo 3
Provar que
é linearmente independente — ideia e estratégia:
- Estratégia direta: suponha que exista uma combinação
como polinômio (isto é, válida para todo
). Mostrar que
.
- Explicação por que isso basta: o polinômio do lado esquerdo é o polinômio
. Se esse polinômio é identicamente zero (igual a zero para todo ), então todos os seus coeficientes devem ser zero — isso é uma propriedade básica dos polinômios (se um polinômio de grau é zero para todos , então o coeficiente do termo de maior grau seria zero; repetindo o argumento para os graus menores, conclui-se que todos os coeficientes são zero).
Passo 4
Detalhar a prova de linear independência passo a passo:
- Comece assumindo
- Esse é o polinômio
. Se é o polinômio zero (igual a zero para todo ), então o coeficiente de é zero, logo
- Com
, a identidade fica para todo . Esse é um polinômio de grau no máximo sendo identicamente zero, então o coeficiente de é zero:
- Finalmente, com
e , temos . - Conclusão: a única solução para a combinação linear que dá o polinômio zero é
. Portanto é linearmente independente.
(Obs.: outra maneira equivalente, se preferir, é avaliar a igualdade em três valores distintos de
e resolver o sistema linear resultante; ambos os raciocínios têm o mesmo fundamento.)
Passo 5
Provar que
gera
(ou seja, gera todo o espaço):
- Tome um polinômio qualquer
. Por definição de , pode ser escrito como
para alguns escalares
.
- Mas isso é exatamente a combinação linear
- Portanto qualquer elemento de
é combinação linear de . Logo o conjunto gera .
Passo 6
Juntando tudo e observação final (motivar como usar isso numa prova):
- Já mostramos que
é linearmente independente (Passos 3–4) e que gera (Passo 5). - Portanto, por definição,
é uma base de . - Dica prática para prova na hora da prova: normalmente basta mostrar uma das duas coisas e usar a contagem de dimensão quando se conhece
. Por exemplo, como tem vetores e tem dimensão , basta provar que são linearmente independentes (ou, alternativamente, provar que geram) para concluir que é base. No nossa resolução fizemos ambas as provas diretamente, que é a forma mais elemental e robusta.
Resposta
Sim:
é uma base de
.