Determine uma base do subespaço
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=y=z\right\} .

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=y=z\}.
O que é pedido: encontrar uma base para o subespaço S.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Todo vetor de S tem coordenadas iguais, isto é, suas componentes são da forma x=y=z.
  • Não há outros dados numéricos nem restrições além dessa igualdade das três componentes.

Passo 2

Vamos parametrizar genericamente um vetor de S. Como x=y=z, posso chamar esse valor comum de t. Ou seja, para algum escalar t\in\mathbb{R} vale
(x,y,z)=(t,t,t).
Aqui t é simplesmente o número que aparece nas três coordenadas; representar assim deixa claro como escrever qualquer elemento de S.

Passo 3

Reescrevendo o vetor (t,t,t) em forma de múltiplo escalar, obtemos
(t,t,t)=t\,(1,1,1).
Isso mostra duas coisas importantes:
  • Todo vetor de S é um múltiplo escalar de (1,1,1).
  • Logo S é o conjunto de todos os múltiplos escalares de (1,1,1), isto é,
S=\operatorname{span}\{(1,1,1)\}.
Quando um conjunto é igual ao espaço gerado por um vetor, dizemos que esse vetor gera o subespaço.

Passo 4

Recordando de forma bem prática o que é uma base: um conjunto de vetores é base de um subespaço se (i) gera o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) é linearmente independente. Vou verificar essas duas propriedades para o conjunto \{(1,1,1)\}.

Passo 5

Verificação do item (i) — gera:
Já mostramos no Passo 3 que qualquer vetor de S é t(1,1,1) para algum t. Portanto \{(1,1,1)\} gera S:
\operatorname{span}\{(1,1,1)\}=S.

Passo 6

Verificação do item (ii) — linearmente independente:
Um conjunto com um único vetor v é linearmente independente exatamente quando v\neq(0,0,0). Aqui v=(1,1,1) que é claramente diferente de (0,0,0). Para ver isso algebricamente, suponha que exista escalar c tal que
c\,(1,1,1)=(0,0,0).
Isso significa que (c,c,c)=(0,0,0), logo c=0. Como a única combinação linear que dá o vetor zero tem coeficiente zero, o vetor (1,1,1) é linearmente independente.

Passo 7

Como \{(1,1,1)\} gera S e é linearmente independente, é uma base de S. Observação adicional útil para a prova: a dimensão de S é 1, porque a base tem exatamente um vetor.

Resposta

\{(1,1,1)\}

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