Determine uma base do subespaço
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
O que é pedido: encontrar uma base para o subespaço
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Todo vetor de
tem coordenadas iguais, isto é, suas componentes são da forma . - Não há outros dados numéricos nem restrições além dessa igualdade das três componentes.
Passo 2
Vamos parametrizar genericamente um vetor de
. Como
, posso chamar esse valor comum de
. Ou seja, para algum escalar
vale
Aqui
é simplesmente o número que aparece nas três coordenadas; representar assim deixa claro como escrever qualquer elemento de
.
Passo 3
Reescrevendo o vetor
em forma de múltiplo escalar, obtemos
Isso mostra duas coisas importantes:
- Todo vetor de
é um múltiplo escalar de . - Logo
é o conjunto de todos os múltiplos escalares de , isto é,
Quando um conjunto é igual ao espaço gerado por um vetor, dizemos que esse vetor gera o subespaço.
Passo 4
Recordando de forma bem prática o que é uma base: um conjunto de vetores é base de um subespaço se (i) gera o subespaço (ou seja, seu span é o subespaço) e (ii) é linearmente independente. Vou verificar essas duas propriedades para o conjunto
.
Passo 5
Verificação do item (i) — gera:
Já mostramos no Passo 3 que qualquer vetor de é
para algum
. Portanto
gera
:
Já mostramos no Passo 3 que qualquer vetor de
Passo 6
Verificação do item (ii) — linearmente independente:
Um conjunto com um único vetor é linearmente independente exatamente quando
. Aqui
que é claramente diferente de
. Para ver isso algebricamente, suponha que exista escalar
tal que
Um conjunto com um único vetor
Isso significa que
, logo
. Como a única combinação linear que dá o vetor zero tem coeficiente zero, o vetor
é linearmente independente.
Passo 7
Como
gera
e é linearmente independente, é uma base de
. Observação adicional útil para a prova: a dimensão de
é
, porque a base tem exatamente um vetor.