São feitas duas simulações para a compra de um veículo no valor de R \ 64.000,00 , sendo pago à vistaà10 % desse valor e o restante financiado pelos sistemas de amortização SAC e PRICE em 48 meses a uma taxa de juros mensal deçã2,8 %$. Determine o total amortizado para cada um dos sistemas referentes ao pagamento
a) das 24 primeiras parcelas.
b) das 24 últimas parcelas.
c) Para cada um dos sistemas de amortização, determine o percentual amortizado com o pagamento da primeira metade das parcelas do financiamento.
Dica: a soma das amortizações no PRICE, até o período t - ésimo, é
\sum_{k=1}^{t} A_{k P}=D_{0} \frac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)^{n}-1}

Passo 1

O enunciado diz que o veículo custa R\$64.000 e paga-se à vista 10\%, restando financiar
D_{0}=0,9\times64.000=R\$57.600
em n=48 meses à taxa nominal mensal i=2{,}8\%. Quer-se o total amortizado nos dois sistemas (SAC e PRICE)
a) nas primeiras 24 parcelas;
b) nas últimas 24 parcelas;
c) o percentual amortizado na primeira metade das parcelas em cada sistema.

Passo 2

Sistema SAC
No SAC a amortização é constante:
A_{\text{SAC}}=\frac{D_{0}}{n}=\frac{57.600}{48}=R\$1.200.
Então
– soma das amortizações nas 24 primeiras parcelas:
24\times A_{\text{SAC}}=24\times1.200=R\$28.800.
– soma nas 24 últimas parcelas: idem, pois o valor A_{\text{SAC}} não varia, logo
24\times1.200=R\$28.800.
– percentual amortizado na primeira metade:
\frac{28.800}{57.600}\times100\%=50\%.

Passo 3

Sistema PRICE
No PRICE o valor da prestação é constante e a amortização A_{kP} cresce com o tempo. A soma das amortizações até a parcela t é dada pela dica:
\sum_{k=1}^{t}A_{kP} =D_{0}\,\frac{(1+i)^{t}-1}{(1+i)^{n}-1}.
Aqui n=48, i=0{,}028 e tomamos t=24 para a primeira metade.

Passo 4

– Calculemos (1+i)^{24} e (1+i)^{48}:
(1{,}028)^{24}\approx1{,}9402, \qquad (1{,}028)^{48}\approx3{,}7642.
– Soma das amortizações nas primeiras 24 parcelas:
57.600\;\frac{1{,}9402-1}{3{,}7642-1} \approx57.600\;\frac{0{,}9402}{2{,}7642} \approx R\$19.600.
– Soma nas últimas 24 parcelas = D_{0} menos o acima:
57.600-19.600=R\$38.000.
– Percentual amortizado na primeira metade:
\frac{19.600}{57.600}\times100\%\approx34\%.

Resposta

a) Primeiras 24 parcelas: SAC = R$ 28800; PRICE ≃ R$ 19600
b) Últimas 24 parcelas: SAC = R$ 28800; PRICE ≃ R$ 38000
c) Percentual amortizado na primeira metade: SAC =50 %; PRICE \approx 34 %.

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