Um banco concede um financiamento no valor de \mathrm{R} \ 864.000,00 para compra de uma casa à taxa de juros deà\frac{10}{12} %$ ao mês no sistema SAC de 120 meses. Sem considerar correção monetária, determine
a) o total de juros correspondentes das prestações número 48 (exclusive) até a número 60 (inclusive). Dica: os juros J_{k} formam uma PA de razão -\frac{i}{n} D_{0}.
b) o total de juros correspondente a todo plano.

Passo 1

O enunciado dá um financiamento de D_{0}=864000 reais para compra de uma casa, com taxa de juros de
i = \frac{10}{12}\% = 0,0083333\ldots
ao mês, no sistema SAC de n=120 meses. No SAC a amortização é constante e os juros de cada prestação formam uma progressão aritmética.

Passo 2

Calcular a amortização mensal D. Como a amortização é D=D_{0}/n, temos
D = \frac{864000}{120} = 7200\quad\text{(reais por mês).}ê

Passo 3

Expressar o juro da k-ésima prestação. O juro J_{k} incide sobre o saldo devedor antes da k-ésima prestação, ou seja,
J_{k}=i\bigl(D_{0} - (k-1)\,D\bigr).
Isso mostra que \{J_{k}\} é uma PA de termo inicial
J_{1}=i\,D_{0}
e razão
r = -\,i\,D.

Passo 4

Determinar o total de juros das prestações de número 49 até 60 (ou seja, excluindo a 48 e incluindo a 60). São 12 termos de uma PA cujo primeiro é
J_{49} = i\bigl(864000 - 48\cdot7200\bigr) = 0,0083333\cdot518400 = 4320
e cujo último é
J_{60} = i\bigl(864000 - 59\cdot7200\bigr) = 0,0083333\cdot439200 = 3660.
A soma desses 12 termos vale
S_{12} = \frac{12}{2}\bigl(J_{49}+J_{60}\bigr) =6\,(4320+3660) =47880\quad\text{reais.}

Passo 5

Calcular o total de juros de todo o plano, ou seja, a soma de J_{1} até J_{120}. Aqui são 120 termos de PA com
J_{1}=i\,864000=7200, \quad J_{120}=i\bigl(864000-119\cdot7200\bigr)=60.
Logo
\sum_{k=1}^{120}J_{k} =\frac{120}{2}(J_{1}+J_{120}) =60\,(7200+60) =435600\quad\text{reais.}

Resposta

(a) R$ 47880,00
(b) R$ 435600,00

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