Mostre que se \left|a_{n}\right| \rightarrow 0 então a_{n} \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado dá uma sequência (a_n) e afirma que \left|a_n\right| \rightarrow 0. A tarefa é mostrar que a_n \rightarrow 0.\n
Informações relevantes do enunciado:
  • Temos uma sequência (a_n) de números (reais, por exemplo).
  • Sabemos que o módulo da sequência converge a zero, isto é, \left|a_n\right| \rightarrow 0.
  • O que precisamos provar: que a própria sequência converge para zero, isto é, que a_n tende a 0.

Passo 2

Lembrete preciso da definição de convergência de sequências (vai ser a nossa ferramenta básica).\n
A sequência (x_n) converge para um número L se, e somente se,
\text{para todo }\varepsilon>0\;\text{existe }N\in\mathbb{N}\;\text{tal que para todo }n\ge N\;\text{temos }|x_n-L|<\varepsilon.
Explicando as letras:
  • \varepsilon>0 é a precisão desejada (quão perto queremos que esteja).
  • N é um índice (dependendo de \varepsilon) a partir do qual todos os termos estão dentro da precisão.
  • L é o limite pretendido.

Passo 3

Interpretação formal do dado \left|a_n\right| \rightarrow 0.\n
Pelo que significa convergência aplicado à sequência \left(|a_n|\right) com limite 0, temos:
\text{para todo }\varepsilon>0\;\text{existe }N\in\mathbb{N}\;\text{tal que para todo }n\ge N\;\text{temos } \big||a_n|-0\big|<\varepsilon.
Note que \big||a_n|-0\big|=|a_n|, porque subtrair zero não altera o valor absoluto. Então a hipótese dá diretamente:
\text{para todo }\varepsilon>0\;\text{existe }N\in\mathbb{N}\;\text{tal que para todo }n\ge N\;\text{temos } |a_n|<\varepsilon.

Passo 4

Relacionando a desigualdade obtida com a definição de convergência de a_n para 0.\n
Repare que para qualquer n vale a identidade
|a_n-0| = |a_n|.
Usando o N obtido no passo anterior (que garante |a_n|<\varepsilon para n\ge N), obtemos exatamente que
\text{para todo }\varepsilon>0\;\text{existe }N\in\mathbb{N}\;\text{tal que para todo }n\ge N\;\text{temos } |a_n-0|<\varepsilon.
Isso é, precisamente, a definição de que a_n converge para 0. (Aqui só usamos a igualdade |a_n-0|=|a_n| e a hipótese |a_n|<\varepsilon.)

Passo 5

Um exemplo numérico para intuir a ideia (opcional mas esclarecedor).\n
Considere a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}. Então
\left|a_n\right| = \frac{1}{n} \rightarrow 0.
Dado \varepsilon>0, escolha N tal que N>\dfrac{1}{\varepsilon} (por exemplo N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil). Para n\ge N temos |a_n|=1/n\le 1/N<\varepsilon. Como |a_n-0|=|a_n|, segue que a_n fica dentro de \varepsilon de 0 para todos n\ge N. Logo a_n converge para 0. Este exemplo mostra como, na prática, a convergência do módulo implica a convergência do termo.

Passo 6

Resumo final do argumento (em palavras): a hipótese dá que a distância de a_n até 0 em valor absoluto fica arbitrariamente pequena a partir de algum índice. Mas essa distância é exatamente |a_n-0|; portanto, pela definição de limite, a_n converge para 0. Fica tranquilo: é uma consequência direta da definição de limite usando \varepsilon- N.

Resposta

a_n \rightarrow 0

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