Mostre que:
\left|\left|z_{1}\right|-\left|z_{2}\right|\right| \leq\left|z_{1}-z_{2}\right|, para quaisquer z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a chamada desigualdade triangular reversa em \mathbb{C}:
\bigl|\;|z_{1}| - |z_{2}|\bigr| \;\le\; |z_{1} - z_{2}|
Vamos usar a definição de módulo em \mathbb{C} e a desigualdade triangular padrão
|a + b| \le |a| + |b|.

Passo 2

Escreva z_{1} como soma de (z_{1}-z_{2}) com z_{2} e aplique a desigualdade triangular:
|z_{1}| = |(z_{1}-z_{2}) + z_{2}| \le |z_{1}-z_{2}| + |z_{2}|.

Passo 3

Rearranjando a desigualdade do passo anterior ficam
|z_{1}| - |z_{2}| \;\le\; |z_{1}-z_{2}|.

Passo 4

Troque z_{1} por z_{2} e vice-versa. Usando
|z_{2}| = |(z_{2}-z_{1}) + z_{1}| \le |z_{2}-z_{1}| + |z_{1}| = |z_{1}-z_{2}| + |z_{1}|,
segue
|z_{2}| - |z_{1}| \;\le\; |z_{1}-z_{2}|.

Passo 5

As duas desigualdades
|z_{1}| - |z_{2}| \le |z_{1}-z_{2}| \quad\text{e}\quad |z_{2}| - |z_{1}| \le |z_{1}-z_{2}|
implicam
-\,|z_{1}-z_{2}|\;\le\;|z_{1}| - |z_{2}|\;\le\;|z_{1}-z_{2}|,
ou seja
\bigl|\;|z_{1}| - |z_{2}|\bigr| \le |z_{1}-z_{2}|.

Resposta

Mostramos que para quaisquer z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} vale
\bigl|\;|z_{1}| - |z_{2}|\bigr| \le |z_{1}-z_{2}|.

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